Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62547 / 76257
↖ ↑ ↗
← S 28.229390°
W  8.209534°		 ← 269.04 m → S 28.229390°
W  8.206787°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
S 28.231810°
W  8.209534°		 ← 269.04 m →
72 402 m²		 S 28.231810°
W  8.206787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477199554443359 y=0.581798553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477199554443359 × 217)
    floor (0.477199554443359 × 131072)
    floor (62547.5)     		tx = 62547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581798553466797 × 217)
    floor (0.581798553466797 × 131072)
    floor (76257.5)     		ty = 76257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62547 / 76257 ti = "17/62547/76257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62547/76257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62547 ÷ 217
    62547 ÷ 131072     		x = 0.477195739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76257 ÷ 217
    76257 ÷ 131072     		y = 0.581794738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477195739746094 × 2 - 1) × π
    -0.0456085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14328339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581794738769531 × 2 - 1) × π
    -0.163589477539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.513931500826622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14328339} λ = -0.14328339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513931500826622))-π/2
    2×atan(0.598139364711565)-π/2
    2×0.539050262979122-π/2
    1.07810052595824-1.57079632675     		φ = -0.49269580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14328339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.209534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49269580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.229390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62547 KachelY 76257 -0.14328339 -0.49269580 -8.209534 -28.229390
    Oben rechts KachelX + 1 62548 KachelY 76257 -0.14323546 -0.49269580 -8.206787 -28.229390
    Unten links KachelX 62547 KachelY + 1 76258 -0.14328339 -0.49273804 -8.209534 -28.231810
    Unten rechts KachelX + 1 62548 KachelY + 1 76258 -0.14323546 -0.49273804 -8.206787 -28.231810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49269580--0.49273804) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dl = 269.111039999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49269580--0.49273804) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dr = 269.111039999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14328339--0.14323546) × cos(-0.49269580) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.881060940774028 × 6371000     		do = 269.042557428476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14328339--0.14323546) × cos(-0.49273804) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.881040960351107 × 6371000     		du = 269.036456165972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49269580)-sin(-0.49273804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881060940774028-0.881040960351107)×R²
    abs(-0.14323546--0.14328339)×1.99804229213951e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.99804229213951e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.99804229213951e-05×40589641000000     		ar = 72401.5014859573m²