Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62546 / 39507
↖ ↑ ↗
← N 57.957132°
W  8.212280°		 ← 162.04 m → N 57.957132°
W  8.209534°		 →
↑
162.01 m
↓
↑
162.01 m
↓
N 57.955674°
W  8.212280°		 ← 162.05 m →
26 254 m²		 N 57.955674°
W  8.209534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477191925048828 y=0.301418304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477191925048828 × 217)
    floor (0.477191925048828 × 131072)
    floor (62546.5)     		tx = 62546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301418304443359 × 217)
    floor (0.301418304443359 × 131072)
    floor (39507.5)     		ty = 39507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62546 / 39507 ti = "17/62546/39507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62546/39507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62546 ÷ 217
    62546 ÷ 131072     		x = 0.477188110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39507 ÷ 217
    39507 ÷ 131072     		y = 0.301414489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477188110351562 × 2 - 1) × π
    -0.045623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14333133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301414489746094 × 2 - 1) × π
    0.397171020507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.24774956021044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14333133} λ = -0.14333133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24774956021044))-π/2
    2×atan(3.48249698254954)-π/2
    2×1.29116955026989-π/2
    2.58233910053977-1.57079632675     		φ = 1.01154277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14333133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.212280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01154277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.957132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62546 KachelY 39507 -0.14333133 1.01154277 -8.212280 57.957132
    Oben rechts KachelX + 1 62547 KachelY 39507 -0.14328339 1.01154277 -8.209534 57.957132
    Unten links KachelX 62546 KachelY + 1 39508 -0.14333133 1.01151734 -8.212280 57.955674
    Unten rechts KachelX + 1 62547 KachelY + 1 39508 -0.14328339 1.01151734 -8.209534 57.955674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01154277-1.01151734) × R
    2.5429999999993e-05 × 6371000     		dl = 162.014529999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01154277-1.01151734) × R
    2.5429999999993e-05 × 6371000     		dr = 162.014529999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14333133--0.14328339) × cos(1.01154277) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530553622176526 × 6371000     		do = 162.044732662934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14333133--0.14328339) × cos(1.01151734) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530575177779447 × 6371000     		du = 162.051316298907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01154277)-sin(1.01151734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530553622176526-0.530575177779447)×R²
    abs(-0.14328339--0.14333133)×2.15556029202757e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15556029202757e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15556029202757e-05×40589641000000     		ar = 26254.1345251917m²