Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62545 / 79092
↖ ↑ ↗
← S 34.858890°
W  8.215027°		 ← 250.62 m → S 34.858890°
W  8.212280°		 →
↑
250.64 m
↓
↑
250.64 m
↓
S 34.861144°
W  8.215027°		 ← 250.61 m →
62 814 m²		 S 34.861144°
W  8.212280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477184295654297 y=0.603427886962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477184295654297 × 217)
    floor (0.477184295654297 × 131072)
    floor (62545.5)     		tx = 62545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603427886962891 × 217)
    floor (0.603427886962891 × 131072)
    floor (79092.5)     		ty = 79092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62545 / 79092 ti = "17/62545/79092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62545/79092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62545 ÷ 217
    62545 ÷ 131072     		x = 0.477180480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79092 ÷ 217
    79092 ÷ 131072     		y = 0.603424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477180480957031 × 2 - 1) × π
    -0.0456390380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14337927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603424072265625 × 2 - 1) × π
    -0.20684814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.649832611249481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14337927} λ = -0.14337927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.649832611249481))-π/2
    2×atan(0.522133168665308)-π/2
    2×0.481196957072772-π/2
    0.962393914145545-1.57079632675     		φ = -0.60840241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14337927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.215027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60840241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.858890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62545 KachelY 79092 -0.14337927 -0.60840241 -8.215027 -34.858890
    Oben rechts KachelX + 1 62546 KachelY 79092 -0.14333133 -0.60840241 -8.212280 -34.858890
    Unten links KachelX 62545 KachelY + 1 79093 -0.14337927 -0.60844175 -8.215027 -34.861144
    Unten rechts KachelX + 1 62546 KachelY + 1 79093 -0.14333133 -0.60844175 -8.212280 -34.861144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60840241--0.60844175) × R
    3.93400000000543e-05 × 6371000     		dl = 250.635140000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60840241--0.60844175) × R
    3.93400000000543e-05 × 6371000     		dr = 250.635140000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14337927--0.14333133) × cos(-0.60840241) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.820562178790691 × 6371000     		do = 250.62081067314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14337927--0.14333133) × cos(-0.60844175) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.820539693092803 × 6371000     		du = 250.613942962223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60840241)-sin(-0.60844175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820562178790691-0.820539693092803)×R²
    abs(-0.14333133--0.14337927)×2.24856978875421e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24856978875421e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24856978875421e-05×40589641000000     		ar = 62813.5213334011m²