Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62545 / 39774
↖ ↑ ↗
← N 57.565942°
W  8.215027°		 ← 163.81 m → N 57.565942°
W  8.212280°		 →
↑
163.80 m
↓
↑
163.80 m
↓
N 57.564469°
W  8.215027°		 ← 163.82 m →
26 832 m²		 N 57.564469°
W  8.212280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477184295654297 y=0.303455352783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477184295654297 × 217)
    floor (0.477184295654297 × 131072)
    floor (62545.5)     		tx = 62545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303455352783203 × 217)
    floor (0.303455352783203 × 131072)
    floor (39774.5)     		ty = 39774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62545 / 39774 ti = "17/62545/39774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62545/39774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62545 ÷ 217
    62545 ÷ 131072     		x = 0.477180480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39774 ÷ 217
    39774 ÷ 131072     		y = 0.303451538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477180480957031 × 2 - 1) × π
    -0.0456390380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14337927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303451538085938 × 2 - 1) × π
    0.393096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23495040801189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14337927} λ = -0.14337927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23495040801189))-π/2
    2×atan(3.43820800890644)-π/2
    2×1.28775577339657-π/2
    2.57551154679315-1.57079632675     		φ = 1.00471522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14337927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.215027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00471522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.565942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62545 KachelY 39774 -0.14337927 1.00471522 -8.215027 57.565942
    Oben rechts KachelX + 1 62546 KachelY 39774 -0.14333133 1.00471522 -8.212280 57.565942
    Unten links KachelX 62545 KachelY + 1 39775 -0.14337927 1.00468951 -8.215027 57.564469
    Unten rechts KachelX + 1 62546 KachelY + 1 39775 -0.14333133 1.00468951 -8.212280 57.564469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00471522-1.00468951) × R
    2.57100000000676e-05 × 6371000     		dl = 163.798410000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00471522-1.00468951) × R
    2.57100000000676e-05 × 6371000     		dr = 163.798410000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14337927--0.14333133) × cos(1.00471522) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53632859341332 × 6371000     		do = 163.80855752641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14337927--0.14333133) × cos(1.00468951) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53635029271427 × 6371000     		du = 163.81518505146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00471522)-sin(1.00468951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53632859341332-0.53635029271427)×R²
    abs(-0.14333133--0.14337927)×2.16993009504174e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16993009504174e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16993009504174e-05×40589641000000     		ar = 26832.1240577805m²