Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62545 / 39470
↖ ↑ ↗
← N 58.011008°
W  8.215027°		 ← 161.80 m → N 58.011008°
W  8.212280°		 →
↑
161.76 m
↓
↑
161.76 m
↓
N 58.009553°
W  8.215027°		 ← 161.81 m →
26 173 m²		 N 58.009553°
W  8.212280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477184295654297 y=0.301136016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477184295654297 × 217)
    floor (0.477184295654297 × 131072)
    floor (62545.5)     		tx = 62545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301136016845703 × 217)
    floor (0.301136016845703 × 131072)
    floor (39470.5)     		ty = 39470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62545 / 39470 ti = "17/62545/39470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62545/39470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62545 ÷ 217
    62545 ÷ 131072     		x = 0.477180480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39470 ÷ 217
    39470 ÷ 131072     		y = 0.301132202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477180480957031 × 2 - 1) × π
    -0.0456390380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14337927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301132202148438 × 2 - 1) × π
    0.397735595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24952322549638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14337927} λ = -0.14337927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24952322549638))-π/2
    2×atan(3.48867924756959)-π/2
    2×1.29163970895015-π/2
    2.58327941790029-1.57079632675     		φ = 1.01248309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14337927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.215027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01248309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.011008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62545 KachelY 39470 -0.14337927 1.01248309 -8.215027 58.011008
    Oben rechts KachelX + 1 62546 KachelY 39470 -0.14333133 1.01248309 -8.212280 58.011008
    Unten links KachelX 62545 KachelY + 1 39471 -0.14337927 1.01245770 -8.215027 58.009553
    Unten rechts KachelX + 1 62546 KachelY + 1 39471 -0.14333133 1.01245770 -8.212280 58.009553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01248309-1.01245770) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dl = 161.759690000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01248309-1.01245770) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dr = 161.759690000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14337927--0.14333133) × cos(1.01248309) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529756324194604 × 6371000     		do = 161.801217336804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14337927--0.14333133) × cos(1.01245770) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52977785854957 × 6371000     		du = 161.807794483105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01248309)-sin(1.01245770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529756324194604-0.52977785854957)×R²
    abs(-0.14333133--0.14337927)×2.15343549665459e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15343549665459e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15343549665459e-05×40589641000000     		ar = 26173.4467179897m²