Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62544 / 79090
↖ ↑ ↗
← S 34.854383°
W  8.217773°		 ← 250.58 m → S 34.854383°
W  8.215027°		 →
↑
250.64 m
↓
↑
250.64 m
↓
S 34.856637°
W  8.217773°		 ← 250.58 m →
62 804 m²		 S 34.856637°
W  8.215027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477176666259766 y=0.603412628173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477176666259766 × 217)
    floor (0.477176666259766 × 131072)
    floor (62544.5)     		tx = 62544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603412628173828 × 217)
    floor (0.603412628173828 × 131072)
    floor (79090.5)     		ty = 79090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62544 / 79090 ti = "17/62544/79090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62544/79090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62544 ÷ 217
    62544 ÷ 131072     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79090 ÷ 217
    79090 ÷ 131072     		y = 0.603408813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603408813476562 × 2 - 1) × π
    -0.206817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.649736737450241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.649736737450241))-π/2
    2×atan(0.522183229955642)-π/2
    2×0.481236293357209-π/2
    0.962472586714417-1.57079632675     		φ = -0.60832374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60832374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.854383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62544 KachelY 79090 -0.14342720 -0.60832374 -8.217773 -34.854383
    Oben rechts KachelX + 1 62545 KachelY 79090 -0.14337927 -0.60832374 -8.215027 -34.854383
    Unten links KachelX 62544 KachelY + 1 79091 -0.14342720 -0.60836308 -8.217773 -34.856637
    Unten rechts KachelX + 1 62545 KachelY + 1 79091 -0.14337927 -0.60836308 -8.215027 -34.856637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60832374--0.60836308) × R
    3.93399999999433e-05 × 6371000     		dl = 250.635139999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60832374--0.60836308) × R
    3.93399999999433e-05 × 6371000     		dr = 250.635139999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14337927) × cos(-0.60832374) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.82060714066171 × 6371000     		do = 250.582262304964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14337927) × cos(-0.60836308) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.820584657503397 × 6371000     		du = 250.5753968021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60832374)-sin(-0.60836308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82060714066171-0.820584657503397)×R²
    abs(-0.14337927--0.14342720)×2.24831583131024e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24831583131024e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24831583131024e-05×40589641000000     		ar = 62803.8600342291m²