Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62544 / 31696
↖ ↑ ↗
← N 67.659386°
W  8.217773°		 ← 116.07 m → N 67.659386°
W  8.215027°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
N 67.658342°
W  8.217773°		 ← 116.08 m →
13 474 m²		 N 67.658342°
W  8.215027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477176666259766 y=0.241825103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477176666259766 × 217)
    floor (0.477176666259766 × 131072)
    floor (62544.5)     		tx = 62544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241825103759766 × 217)
    floor (0.241825103759766 × 131072)
    floor (31696.5)     		ty = 31696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62544 / 31696 ti = "17/62544/31696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62544/31696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62544 ÷ 217
    62544 ÷ 131072     		x = 0.4771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31696 ÷ 217
    31696 ÷ 131072     		y = 0.2418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2418212890625 × 2 - 1) × π
    0.516357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6221846831427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14342720} λ = -0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6221846831427))-π/2
    2×atan(5.06414178538024)-π/2
    2×1.37583769440724-π/2
    2.75167538881447-1.57079632675     		φ = 1.18087906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18087906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.659386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62544 KachelY 31696 -0.14342720 1.18087906 -8.217773 67.659386
    Oben rechts KachelX + 1 62545 KachelY 31696 -0.14337927 1.18087906 -8.215027 67.659386
    Unten links KachelX 62544 KachelY + 1 31697 -0.14342720 1.18086084 -8.217773 67.658342
    Unten rechts KachelX + 1 62545 KachelY + 1 31697 -0.14337927 1.18086084 -8.215027 67.658342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18087906-1.18086084) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dl = 116.079620000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18087906-1.18086084) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dr = 116.079620000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14342720--0.14337927) × cos(1.18087906) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.380111893131144 × 6371000     		do = 116.071739313673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14342720--0.14337927) × cos(1.18086084) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.380128745484159 × 6371000     		du = 116.0768853824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18087906)-sin(1.18086084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380111893131144-0.380128745484159)×R²
    abs(-0.14337927--0.14342720)×1.68523530151288e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.68523530151288e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.68523530151288e-05×40589641000000     		ar = 13473.8620696554m²