Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62543 / 34669
↖ ↑ ↗
← N 64.343476°
W  8.220520°		 ← 132.24 m → N 64.343476°
W  8.217773°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
N 64.342287°
W  8.220520°		 ← 132.25 m →
17 483 m²		 N 64.342287°
W  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477169036865234 y=0.264507293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477169036865234 × 217)
    floor (0.477169036865234 × 131072)
    floor (62543.5)     		tx = 62543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264507293701172 × 217)
    floor (0.264507293701172 × 131072)
    floor (34669.5)     		ty = 34669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62543 / 34669 ti = "17/62543/34669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62543/34669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62543 ÷ 217
    62543 ÷ 131072     		x = 0.477165222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34669 ÷ 217
    34669 ÷ 131072     		y = 0.264503479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477165222167969 × 2 - 1) × π
    -0.0456695556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14347514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264503479003906 × 2 - 1) × π
    0.470993041992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.47966828057227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14347514} λ = -0.14347514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47966828057227))-π/2
    2×atan(4.39148869715972)-π/2
    2×1.34690091491296-π/2
    2.69380182982593-1.57079632675     		φ = 1.12300550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14347514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.220520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12300550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.343476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62543 KachelY 34669 -0.14347514 1.12300550 -8.220520 64.343476
    Oben rechts KachelX + 1 62544 KachelY 34669 -0.14342720 1.12300550 -8.217773 64.343476
    Unten links KachelX 62543 KachelY + 1 34670 -0.14347514 1.12298475 -8.220520 64.342287
    Unten rechts KachelX + 1 62544 KachelY + 1 34670 -0.14342720 1.12298475 -8.217773 64.342287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12300550-1.12298475) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12300550-1.12298475) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14347514--0.14342720) × cos(1.12300550) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432975230705642 × 6371000     		do = 132.241780239931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14347514--0.14342720) × cos(1.12298475) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432993934783163 × 6371000     		du = 132.247492946649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12300550)-sin(1.12298475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432975230705642-0.432993934783163)×R²
    abs(-0.14342720--0.14347514)×1.87040775207481e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87040775207481e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87040775207481e-05×40589641000000     		ar = 17482.5095302855m²