Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62542 / 79054
↖ ↑ ↗
← S 34.773204°
W  8.223267°		 ← 250.88 m → S 34.773204°
W  8.220520°		 →
↑
250.83 m
↓
↑
250.83 m
↓
S 34.775460°
W  8.223267°		 ← 250.87 m →
62 927 m²		 S 34.775460°
W  8.220520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477161407470703 y=0.603137969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477161407470703 × 217)
    floor (0.477161407470703 × 131072)
    floor (62542.5)     		tx = 62542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603137969970703 × 217)
    floor (0.603137969970703 × 131072)
    floor (79054.5)     		ty = 79054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62542 / 79054 ti = "17/62542/79054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62542/79054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62542 ÷ 217
    62542 ÷ 131072     		x = 0.477157592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79054 ÷ 217
    79054 ÷ 131072     		y = 0.603134155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477157592773438 × 2 - 1) × π
    -0.045684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14352308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603134155273438 × 2 - 1) × π
    -0.206268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.648011009063919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14352308} λ = -0.14352308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.648011009063919))-π/2
    2×atan(0.523085154392902)-π/2
    2×0.481944714918496-π/2
    0.963889429836993-1.57079632675     		φ = -0.60690690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14352308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.223267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60690690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.773204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62542 KachelY 79054 -0.14352308 -0.60690690 -8.223267 -34.773204
    Oben rechts KachelX + 1 62543 KachelY 79054 -0.14347514 -0.60690690 -8.220520 -34.773204
    Unten links KachelX 62542 KachelY + 1 79055 -0.14352308 -0.60694627 -8.223267 -34.775460
    Unten rechts KachelX + 1 62543 KachelY + 1 79055 -0.14347514 -0.60694627 -8.220520 -34.775460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60690690--0.60694627) × R
    3.9369999999983e-05 × 6371000     		dl = 250.826269999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60690690--0.60694627) × R
    3.9369999999983e-05 × 6371000     		dr = 250.826269999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14352308--0.14347514) × cos(-0.60690690) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.821416030468046 × 6371000     		do = 250.881598953546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14352308--0.14347514) × cos(-0.60694627) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.821393575960203 × 6371000     		du = 250.874740768872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60690690)-sin(-0.60694627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821416030468046-0.821393575960203)×R²
    abs(-0.14347514--0.14352308)×2.24545078428839e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24545078428839e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24545078428839e-05×40589641000000     		ar = 62926.8355786449m²