Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62541 / 79061
↖ ↑ ↗
← S 34.788995°
W  8.226013°		 ← 250.78 m → S 34.788995°
W  8.223267°		 →
↑
250.83 m
↓
↑
250.83 m
↓
S 34.791250°
W  8.226013°		 ← 250.77 m →
62 902 m²		 S 34.791250°
W  8.223267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477153778076172 y=0.603191375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477153778076172 × 217)
    floor (0.477153778076172 × 131072)
    floor (62541.5)     		tx = 62541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603191375732422 × 217)
    floor (0.603191375732422 × 131072)
    floor (79061.5)     		ty = 79061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62541 / 79061 ti = "17/62541/79061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62541/79061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62541 ÷ 217
    62541 ÷ 131072     		x = 0.477149963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79061 ÷ 217
    79061 ÷ 131072     		y = 0.603187561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477149963378906 × 2 - 1) × π
    -0.0457000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14357101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603187561035156 × 2 - 1) × π
    -0.206375122070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.64834656736126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14357101} λ = -0.14357101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64834656736126))-π/2
    2×atan(0.522909658275366)-π/2
    2×0.481806911624388-π/2
    0.963613823248776-1.57079632675     		φ = -0.60718250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14357101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.226013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60718250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.788995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62541 KachelY 79061 -0.14357101 -0.60718250 -8.226013 -34.788995
    Oben rechts KachelX + 1 62542 KachelY 79061 -0.14352308 -0.60718250 -8.223267 -34.788995
    Unten links KachelX 62541 KachelY + 1 79062 -0.14357101 -0.60722187 -8.226013 -34.791250
    Unten rechts KachelX + 1 62542 KachelY + 1 79062 -0.14352308 -0.60722187 -8.223267 -34.791250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60718250--0.60722187) × R
    3.93700000000941e-05 × 6371000     		dl = 250.826270000599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60718250--0.60722187) × R
    3.93700000000941e-05 × 6371000     		dr = 250.826270000599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14357101--0.14352308) × cos(-0.60718250) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.821258816472498 × 6371000     		do = 250.781259353448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14357101--0.14352308) × cos(-0.60722187) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.821236353052961 × 6371000     		du = 250.774399878057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60718250)-sin(-0.60722187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821258816472498-0.821236353052961)×R²
    abs(-0.14352308--0.14357101)×2.24634195377105e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24634195377105e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24634195377105e-05×40589641000000     		ar = 62901.6676093693m²