Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62541 / 79059
↖ ↑ ↗
← S 34.784483°
W  8.226013°		 ← 250.79 m → S 34.784483°
W  8.223267°		 →
↑
250.83 m
↓
↑
250.83 m
↓
S 34.786739°
W  8.226013°		 ← 250.79 m →
62 905 m²		 S 34.786739°
W  8.223267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477153778076172 y=0.603176116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477153778076172 × 217)
    floor (0.477153778076172 × 131072)
    floor (62541.5)     		tx = 62541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603176116943359 × 217)
    floor (0.603176116943359 × 131072)
    floor (79059.5)     		ty = 79059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62541 / 79059 ti = "17/62541/79059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62541/79059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62541 ÷ 217
    62541 ÷ 131072     		x = 0.477149963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79059 ÷ 217
    79059 ÷ 131072     		y = 0.603172302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477149963378906 × 2 - 1) × π
    -0.0457000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14357101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603172302246094 × 2 - 1) × π
    -0.206344604492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.648250693562019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14357101} λ = -0.14357101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.648250693562019))-π/2
    2×atan(0.522959794014278)-π/2
    2×0.481846281302475-π/2
    0.963692562604951-1.57079632675     		φ = -0.60710376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14357101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.226013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60710376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.784483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62541 KachelY 79059 -0.14357101 -0.60710376 -8.226013 -34.784483
    Oben rechts KachelX + 1 62542 KachelY 79059 -0.14352308 -0.60710376 -8.223267 -34.784483
    Unten links KachelX 62541 KachelY + 1 79060 -0.14357101 -0.60714313 -8.226013 -34.786739
    Unten rechts KachelX + 1 62542 KachelY + 1 79060 -0.14352308 -0.60714313 -8.223267 -34.786739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60710376--0.60714313) × R
    3.9369999999983e-05 × 6371000     		dl = 250.826269999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60710376--0.60714313) × R
    3.9369999999983e-05 × 6371000     		dr = 250.826269999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14357101--0.14352308) × cos(-0.60710376) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.821303739492693 × 6371000     		do = 250.794977138088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14357101--0.14352308) × cos(-0.60714313) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.821281278619087 × 6371000     		du = 250.788118440128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60710376)-sin(-0.60714313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821303739492693-0.821281278619087)×R²
    abs(-0.14352308--0.14357101)×2.24608736056897e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24608736056897e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24608736056897e-05×40589641000000     		ar = 62905.1084874296m²