Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62541 / 39778
↖ ↑ ↗
← N 57.560049°
W  8.226013°		 ← 163.80 m → N 57.560049°
W  8.223267°		 →
↑
163.80 m
↓
↑
163.80 m
↓
N 57.558576°
W  8.226013°		 ← 163.81 m →
26 831 m²		 N 57.558576°
W  8.223267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477153778076172 y=0.303485870361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477153778076172 × 217)
    floor (0.477153778076172 × 131072)
    floor (62541.5)     		tx = 62541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303485870361328 × 217)
    floor (0.303485870361328 × 131072)
    floor (39778.5)     		ty = 39778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62541 / 39778 ti = "17/62541/39778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62541/39778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62541 ÷ 217
    62541 ÷ 131072     		x = 0.477149963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39778 ÷ 217
    39778 ÷ 131072     		y = 0.303482055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477149963378906 × 2 - 1) × π
    -0.0457000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14357101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303482055664062 × 2 - 1) × π
    0.393035888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23475866041341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14357101} λ = -0.14357101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23475866041341))-π/2
    2×atan(3.43754880398016)-π/2
    2×1.28770434937574-π/2
    2.57540869875147-1.57079632675     		φ = 1.00461237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14357101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.226013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00461237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.560049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62541 KachelY 39778 -0.14357101 1.00461237 -8.226013 57.560049
    Oben rechts KachelX + 1 62542 KachelY 39778 -0.14352308 1.00461237 -8.223267 57.560049
    Unten links KachelX 62541 KachelY + 1 39779 -0.14357101 1.00458666 -8.226013 57.558576
    Unten rechts KachelX + 1 62542 KachelY + 1 39779 -0.14352308 1.00458666 -8.223267 57.558576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00461237-1.00458666) × R
    2.57100000000676e-05 × 6371000     		dl = 163.798410000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00461237-1.00458666) × R
    2.57100000000676e-05 × 6371000     		dr = 163.798410000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14357101--0.14352308) × cos(1.00461237) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.536415396929427 × 6371000     		do = 163.800894529631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14357101--0.14352308) × cos(1.00458666) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.536437094812034 × 6371000     		du = 163.807520239111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00461237)-sin(1.00458666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536415396929427-0.536437094812034)×R²
    abs(-0.14352308--0.14357101)×2.16978826075298e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16978826075298e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16978826075298e-05×40589641000000     		ar = 26830.868722382m²