Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62540 / 39780
↖ ↑ ↗
← N 57.557102°
W  8.228760°		 ← 163.85 m → N 57.557102°
W  8.226013°		 →
↑
163.80 m
↓
↑
163.80 m
↓
N 57.555629°
W  8.228760°		 ← 163.85 m →
26 839 m²		 N 57.555629°
W  8.226013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477146148681641 y=0.303501129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477146148681641 × 217)
    floor (0.477146148681641 × 131072)
    floor (62540.5)     		tx = 62540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303501129150391 × 217)
    floor (0.303501129150391 × 131072)
    floor (39780.5)     		ty = 39780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62540 / 39780 ti = "17/62540/39780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62540/39780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62540 ÷ 217
    62540 ÷ 131072     		x = 0.477142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39780 ÷ 217
    39780 ÷ 131072     		y = 0.303497314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477142333984375 × 2 - 1) × π
    -0.04571533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14361895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303497314453125 × 2 - 1) × π
    0.39300537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23466278661417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14361895} λ = -0.14361895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23466278661417))-π/2
    2×atan(3.43721924891435)-π/2
    2×1.28767863424446-π/2
    2.57535726848892-1.57079632675     		φ = 1.00456094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14361895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.228760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00456094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.557102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62540 KachelY 39780 -0.14361895 1.00456094 -8.228760 57.557102
    Oben rechts KachelX + 1 62541 KachelY 39780 -0.14357101 1.00456094 -8.226013 57.557102
    Unten links KachelX 62540 KachelY + 1 39781 -0.14361895 1.00453523 -8.228760 57.555629
    Unten rechts KachelX + 1 62541 KachelY + 1 39781 -0.14357101 1.00453523 -8.226013 57.555629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00456094-1.00453523) × R
    2.57100000000676e-05 × 6371000     		dl = 163.798410000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00456094-1.00453523) × R
    2.57100000000676e-05 × 6371000     		dr = 163.798410000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14361895--0.14357101) × cos(1.00456094) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53645880077932 × 6371000     		do = 163.848326207524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14361895--0.14357101) × cos(1.00453523) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.536480497952601 × 6371000     		du = 163.854953082729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00456094)-sin(1.00453523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53645880077932-0.536480497952601)×R²
    abs(-0.14357101--0.14361895)×2.16971732809323e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16971732809323e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16971732809323e-05×40589641000000     		ar = 26838.6380511823m²