Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6254 / 6039
↖ ↑ ↗
← S 64.605038°
E 94.833984°		 ← 2 095.60 m → S 64.605038°
E 94.877930°		 →
↑
2 094.85 m
↓
↑
2 094.85 m
↓
S 64.623877°
E 94.833984°		 ← 2 094.15 m →
4 388 445 m²		 S 64.623877°
E 94.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76348876953125 y=0.73724365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76348876953125 × 213)
    floor (0.76348876953125 × 8192)
    floor (6254.5)     		tx = 6254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73724365234375 × 213)
    floor (0.73724365234375 × 8192)
    floor (6039.5)     		ty = 6039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6254 / 6039 ti = "13/6254/6039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6254/6039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6254 ÷ 213
    6254 ÷ 8192     		x = 0.763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6039 ÷ 213
    6039 ÷ 8192     		y = 0.7371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763427734375 × 2 - 1) × π
    0.52685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65516527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.474365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49026233538831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65516527} λ = 1.65516527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49026233538831))-π/2
    2×atan(0.225313540070713)-π/2
    2×0.2216128542545-π/2
    0.443225708509-1.57079632675     		φ = -1.12757062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65516527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.833984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12757062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.605038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6254 KachelY 6039 1.65516527 -1.12757062 94.833984 -64.605038
    Oben rechts KachelX + 1 6255 KachelY 6039 1.65593226 -1.12757062 94.877930 -64.605038
    Unten links KachelX 6254 KachelY + 1 6040 1.65516527 -1.12789943 94.833984 -64.623877
    Unten rechts KachelX + 1 6255 KachelY + 1 6040 1.65593226 -1.12789943 94.877930 -64.623877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12757062--1.12789943) × R
    0.000328810000000068 × 6371000     		dl = 2094.84851000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12757062--1.12789943) × R
    0.000328810000000068 × 6371000     		dr = 2094.84851000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65516527-1.65593226) × cos(-1.12757062) × R
    0.000766990000000023 × 0.428855707605151 × 6371000     		do = 2095.60053759084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65516527-1.65593226) × cos(-1.12789943) × R
    0.000766990000000023 × 0.428558646350392 × 6371000     		du = 2094.14894976274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12757062)-sin(-1.12789943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428855707605151-0.428558646350392)×R²
    abs(1.65593226-1.65516527)×0.00029706125475909×R²
    0.000766990000000023×0.00029706125475909×6371000²
    0.000766990000000023×0.00029706125475909×40589641000000     		ar = 4388445.27496885m²