Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6254 / 6037
↖ ↑ ↗
← S 64.567319°
E 94.833984°		 ← 2 098.51 m → S 64.567319°
E 94.877930°		 →
↑
2 097.78 m
↓
↑
2 097.78 m
↓
S 64.586185°
E 94.833984°		 ← 2 097.05 m →
4 400 678 m²		 S 64.586185°
E 94.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76348876953125 y=0.73699951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76348876953125 × 213)
    floor (0.76348876953125 × 8192)
    floor (6254.5)     		tx = 6254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73699951171875 × 213)
    floor (0.73699951171875 × 8192)
    floor (6037.5)     		ty = 6037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6254 / 6037 ti = "13/6254/6037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6254/6037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6254 ÷ 213
    6254 ÷ 8192     		x = 0.763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6037 ÷ 213
    6037 ÷ 8192     		y = 0.7369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763427734375 × 2 - 1) × π
    0.52685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65516527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48872835460046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65516527} λ = 1.65516527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48872835460046))-π/2
    2×atan(0.225659431940337)-π/2
    2×0.2219420104526-π/2
    0.4438840209052-1.57079632675     		φ = -1.12691231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65516527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.833984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12691231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.567319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6254 KachelY 6037 1.65516527 -1.12691231 94.833984 -64.567319
    Oben rechts KachelX + 1 6255 KachelY 6037 1.65593226 -1.12691231 94.877930 -64.567319
    Unten links KachelX 6254 KachelY + 1 6038 1.65516527 -1.12724158 94.833984 -64.586185
    Unten rechts KachelX + 1 6255 KachelY + 1 6038 1.65593226 -1.12724158 94.877930 -64.586185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12691231--1.12724158) × R
    0.000329269999999937 × 6371000     		dl = 2097.7791699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12691231--1.12724158) × R
    0.000329269999999937 × 6371000     		dr = 2097.7791699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65516527-1.65593226) × cos(-1.12691231) × R
    0.000766990000000023 × 0.429450314116585 × 6371000     		do = 2098.50607831915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65516527-1.65593226) × cos(-1.12724158) × R
    0.000766990000000023 × 0.429152930237076 × 6371000     		du = 2097.05291398737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12691231)-sin(-1.12724158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429450314116585-0.429152930237076)×R²
    abs(1.65593226-1.65516527)×0.000297383879509561×R²
    0.000766990000000023×0.000297383879509561×6371000²
    0.000766990000000023×0.000297383879509561×40589641000000     		ar = 4400678.17004326m²