Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6254 / 14453
↖ ↑ ↗
← N 20.745840°
W111.291504°		 ← 1 142.37 m → N 20.745840°
W111.280518°		 →
↑
1 142.45 m
↓
↑
1 142.45 m
↓
N 20.735566°
W111.291504°		 ← 1 142.45 m →
1 305 142 m²		 N 20.735566°
W111.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190872192382812 y=0.441085815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190872192382812 × 215)
    floor (0.190872192382812 × 32768)
    floor (6254.5)     		tx = 6254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441085815429688 × 215)
    floor (0.441085815429688 × 32768)
    floor (14453.5)     		ty = 14453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6254 / 14453 ti = "15/6254/14453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6254/14453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6254 ÷ 215
    6254 ÷ 32768     		x = 0.19085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14453 ÷ 215
    14453 ÷ 32768     		y = 0.441070556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.6182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.94240317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441070556640625 × 2 - 1) × π
    0.11785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.370264612665314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94240317} λ = -1.94240317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370264612665314))-π/2
    2×atan(1.44811775426794)-π/2
    2×0.966439772523286-π/2
    1.93287954504657-1.57079632675     		φ = 0.36208322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94240317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.291504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36208322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.745840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6254 KachelY 14453 -1.94240317 0.36208322 -111.291504 20.745840
    Oben rechts KachelX + 1 6255 KachelY 14453 -1.94221143 0.36208322 -111.280518 20.745840
    Unten links KachelX 6254 KachelY + 1 14454 -1.94240317 0.36190390 -111.291504 20.735566
    Unten rechts KachelX + 1 6255 KachelY + 1 14454 -1.94221143 0.36190390 -111.280518 20.735566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36208322-0.36190390) × R
    0.000179319999999983 × 6371000     		dl = 1142.44771999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36208322-0.36190390) × R
    0.000179319999999983 × 6371000     		dr = 1142.44771999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94240317--1.94221143) × cos(0.36208322) × R
    0.000191739999999996 × 0.935160928676107 × 6371000     		do = 1142.36971643439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94240317--1.94221143) × cos(0.36190390) × R
    0.000191739999999996 × 0.935224432935028 × 6371000     		du = 1142.44729168378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36208322)-sin(0.36190390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935160928676107-0.935224432935028)×R²
    abs(-1.94221143--1.94240317)×6.35042589206547e-05×R²
    0.000191739999999996×6.35042589206547e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.35042589206547e-05×40589641000000     		ar = 1305141.9942682m²