Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62539 / 34916
↖ ↑ ↗
← N 64.048171°
W  8.231506°		 ← 133.66 m → N 64.048171°
W  8.228760°		 →
↑
133.60 m
↓
↑
133.60 m
↓
N 64.046969°
W  8.231506°		 ← 133.66 m →
17 857 m²		 N 64.046969°
W  8.228760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477138519287109 y=0.266391754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477138519287109 × 217)
    floor (0.477138519287109 × 131072)
    floor (62539.5)     		tx = 62539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266391754150391 × 217)
    floor (0.266391754150391 × 131072)
    floor (34916.5)     		ty = 34916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62539 / 34916 ti = "17/62539/34916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62539/34916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62539 ÷ 217
    62539 ÷ 131072     		x = 0.477134704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34916 ÷ 217
    34916 ÷ 131072     		y = 0.266387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477134704589844 × 2 - 1) × π
    -0.0457305908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14366689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266387939453125 × 2 - 1) × π
    0.46722412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46782786636612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14366689} λ = -0.14366689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46782786636612))-π/2
    2×atan(4.33979827390985)-π/2
    2×1.34432389538605-π/2
    2.68864779077211-1.57079632675     		φ = 1.11785146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14366689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.231506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11785146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.048171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62539 KachelY 34916 -0.14366689 1.11785146 -8.231506 64.048171
    Oben rechts KachelX + 1 62540 KachelY 34916 -0.14361895 1.11785146 -8.228760 64.048171
    Unten links KachelX 62539 KachelY + 1 34917 -0.14366689 1.11783049 -8.231506 64.046969
    Unten rechts KachelX + 1 62540 KachelY + 1 34917 -0.14361895 1.11783049 -8.228760 64.046969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11785146-1.11783049) × R
    2.0970000000009e-05 × 6371000     		dl = 133.599870000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11785146-1.11783049) × R
    2.0970000000009e-05 × 6371000     		dr = 133.599870000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14366689--0.14361895) × cos(1.11785146) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437615340989335 × 6371000     		do = 133.65898935701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14366689--0.14361895) × cos(1.11783049) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437634196326214 × 6371000     		du = 133.664748262229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11785146)-sin(1.11783049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437615340989335-0.437634196326214)×R²
    abs(-0.14361895--0.14366689)×1.88553368796751e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88553368796751e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88553368796751e-05×40589641000000     		ar = 17857.208297653m²