Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62538 / 39460
↖ ↑ ↗
← N 58.025555°
W  8.234253°		 ← 161.74 m → N 58.025555°
W  8.231506°		 →
↑
161.76 m
↓
↑
161.76 m
↓
N 58.024101°
W  8.234253°		 ← 161.74 m →
26 163 m²		 N 58.024101°
W  8.231506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477130889892578 y=0.301059722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477130889892578 × 217)
    floor (0.477130889892578 × 131072)
    floor (62538.5)     		tx = 62538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301059722900391 × 217)
    floor (0.301059722900391 × 131072)
    floor (39460.5)     		ty = 39460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62538 / 39460 ti = "17/62538/39460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62538/39460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62538 ÷ 217
    62538 ÷ 131072     		x = 0.477127075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39460 ÷ 217
    39460 ÷ 131072     		y = 0.301055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477127075195312 × 2 - 1) × π
    -0.045745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14371483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301055908203125 × 2 - 1) × π
    0.39788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25000259449258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14371483} λ = -0.14371483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25000259449258))-π/2
    2×atan(3.49035201314251)-π/2
    2×1.29176665751832-π/2
    2.58353331503664-1.57079632675     		φ = 1.01273699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14371483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.234253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01273699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.025555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62538 KachelY 39460 -0.14371483 1.01273699 -8.234253 58.025555
    Oben rechts KachelX + 1 62539 KachelY 39460 -0.14366689 1.01273699 -8.231506 58.025555
    Unten links KachelX 62538 KachelY + 1 39461 -0.14371483 1.01271160 -8.234253 58.024101
    Unten rechts KachelX + 1 62539 KachelY + 1 39461 -0.14366689 1.01271160 -8.231506 58.024101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01273699-1.01271160) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dl = 161.759690000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01273699-1.01271160) × R
    2.5390000000014e-05 × 6371000     		dr = 161.759690000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14371483--0.14366689) × cos(1.01273699) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52954096186426 × 6371000     		do = 161.735440137691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14371483--0.14366689) × cos(1.01271160) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529562499633687 × 6371000     		du = 161.742018326856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01273699)-sin(1.01271160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52954096186426-0.529562499633687)×R²
    abs(-0.14366689--0.14371483)×2.1537769427149e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1537769427149e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1537769427149e-05×40589641000000     		ar = 26162.8067029031m²