Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62537 / 39367
↖ ↑ ↗
← N 58.160561°
W  8.236999°		 ← 161.09 m → N 58.160561°
W  8.234253°		 →
↑
161.12 m
↓
↑
161.12 m
↓
N 58.159112°
W  8.236999°		 ← 161.10 m →
25 956 m²		 N 58.159112°
W  8.234253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477123260498047 y=0.300350189208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477123260498047 × 217)
    floor (0.477123260498047 × 131072)
    floor (62537.5)     		tx = 62537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300350189208984 × 217)
    floor (0.300350189208984 × 131072)
    floor (39367.5)     		ty = 39367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62537 / 39367 ti = "17/62537/39367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62537/39367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62537 ÷ 217
    62537 ÷ 131072     		x = 0.477119445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39367 ÷ 217
    39367 ÷ 131072     		y = 0.300346374511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477119445800781 × 2 - 1) × π
    -0.0457611083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14376276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300346374511719 × 2 - 1) × π
    0.399307250976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.25446072615725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14376276} λ = -0.14376276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25446072615725))-π/2
    2×atan(3.50594719883928)-π/2
    2×1.29294480894414-π/2
    2.58588961788828-1.57079632675     		φ = 1.01509329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14376276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.236999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01509329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.160561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62537 KachelY 39367 -0.14376276 1.01509329 -8.236999 58.160561
    Oben rechts KachelX + 1 62538 KachelY 39367 -0.14371483 1.01509329 -8.234253 58.160561
    Unten links KachelX 62537 KachelY + 1 39368 -0.14376276 1.01506800 -8.236999 58.159112
    Unten rechts KachelX + 1 62538 KachelY + 1 39368 -0.14371483 1.01506800 -8.234253 58.159112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01509329-1.01506800) × R
    2.52899999999556e-05 × 6371000     		dl = 161.122589999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01509329-1.01506800) × R
    2.52899999999556e-05 × 6371000     		dr = 161.122589999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14376276--0.14371483) × cos(1.01509329) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527540681211903 × 6371000     		do = 161.090893322455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14376276--0.14371483) × cos(1.01506800) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527562165651074 × 6371000     		du = 161.097453854413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01509329)-sin(1.01506800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527540681211903-0.527562165651074)×R²
    abs(-0.14371483--0.14376276)×2.14844391709379e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14844391709379e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14844391709379e-05×40589641000000     		ar = 25955.9104836115m²