Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62536 / 39672
↖ ↑ ↗
← N 57.715885°
W  8.239746°		 ← 163.13 m → N 57.715885°
W  8.236999°		 →
↑
163.16 m
↓
↑
163.16 m
↓
N 57.714418°
W  8.239746°		 ← 163.14 m →
26 618 m²		 N 57.714418°
W  8.236999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477115631103516 y=0.302677154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477115631103516 × 217)
    floor (0.477115631103516 × 131072)
    floor (62536.5)     		tx = 62536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302677154541016 × 217)
    floor (0.302677154541016 × 131072)
    floor (39672.5)     		ty = 39672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62536 / 39672 ti = "17/62536/39672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62536/39672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62536 ÷ 217
    62536 ÷ 131072     		x = 0.47711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39672 ÷ 217
    39672 ÷ 131072     		y = 0.30267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.0457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14381070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30267333984375 × 2 - 1) × π
    0.3946533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23983997177313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14381070} λ = -0.14381070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23983997177313))-π/2
    2×atan(3.45506051331227)-π/2
    2×1.28906427647897-π/2
    2.57812855295795-1.57079632675     		φ = 1.00733223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14381070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00733223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.715885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62536 KachelY 39672 -0.14381070 1.00733223 -8.239746 57.715885
    Oben rechts KachelX + 1 62537 KachelY 39672 -0.14376276 1.00733223 -8.236999 57.715885
    Unten links KachelX 62536 KachelY + 1 39673 -0.14381070 1.00730662 -8.239746 57.714418
    Unten rechts KachelX + 1 62537 KachelY + 1 39673 -0.14376276 1.00730662 -8.236999 57.714418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00733223-1.00730662) × R
    2.56100000000092e-05 × 6371000     		dl = 163.161310000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00733223-1.00730662) × R
    2.56100000000092e-05 × 6371000     		dr = 163.161310000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14381070--0.14376276) × cos(1.00733223) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.534117978660346 × 6371000     		do = 163.133378879722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14381070--0.14376276) × cos(1.00730662) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.534139629434027 × 6371000     		du = 163.139991583295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00733223)-sin(1.00730662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534117978660346-0.534139629434027)×R²
    abs(-0.14376276--0.14381070)×2.16507736804372e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16507736804372e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16507736804372e-05×40589641000000     		ar = 26617.5952727603m²