Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62535 / 78887
↖ ↑ ↗
← S 34.395578°
W  8.242493°		 ← 252.02 m → S 34.395578°
W  8.239746°		 →
↑
252.04 m
↓
↑
252.04 m
↓
S 34.397845°
W  8.242493°		 ← 252.02 m →
63 519 m²		 S 34.397845°
W  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477108001708984 y=0.601863861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477108001708984 × 217)
    floor (0.477108001708984 × 131072)
    floor (62535.5)     		tx = 62535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601863861083984 × 217)
    floor (0.601863861083984 × 131072)
    floor (78887.5)     		ty = 78887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62535 / 78887 ti = "17/62535/78887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62535/78887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62535 ÷ 217
    62535 ÷ 131072     		x = 0.477104187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78887 ÷ 217
    78887 ÷ 131072     		y = 0.601860046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477104187011719 × 2 - 1) × π
    -0.0457916259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14385864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601860046386719 × 2 - 1) × π
    -0.203720092773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.64000554682737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14385864} λ = -0.14385864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64000554682737))-π/2
    2×atan(0.527289499251111)-π/2
    2×0.485240115920554-π/2
    0.970480231841108-1.57079632675     		φ = -0.60031609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14385864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.242493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60031609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.395578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62535 KachelY 78887 -0.14385864 -0.60031609 -8.242493 -34.395578
    Oben rechts KachelX + 1 62536 KachelY 78887 -0.14381070 -0.60031609 -8.239746 -34.395578
    Unten links KachelX 62535 KachelY + 1 78888 -0.14385864 -0.60035565 -8.242493 -34.397845
    Unten rechts KachelX + 1 62536 KachelY + 1 78888 -0.14381070 -0.60035565 -8.239746 -34.397845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60031609--0.60035565) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dl = 252.036760000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60031609--0.60035565) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dr = 252.036760000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14385864--0.14381070) × cos(-0.60031609) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.825157095842403 × 6371000     		do = 252.024216613897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14385864--0.14381070) × cos(-0.60035565) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.825134747621168 × 6371000     		du = 252.017390891889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60031609)-sin(-0.60035565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825157095842403-0.825134747621168)×R²
    abs(-0.14381070--0.14385864)×2.23482212344805e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23482212344805e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23482212344805e-05×40589641000000     		ar = 63518.5068388479m²