Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62535 / 39372
↖ ↑ ↗
← N 58.153316°
W  8.242493°		 ← 161.16 m → N 58.153316°
W  8.239746°		 →
↑
161.12 m
↓
↑
161.12 m
↓
N 58.151867°
W  8.242493°		 ← 161.16 m →
25 967 m²		 N 58.151867°
W  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477108001708984 y=0.300388336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477108001708984 × 217)
    floor (0.477108001708984 × 131072)
    floor (62535.5)     		tx = 62535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300388336181641 × 217)
    floor (0.300388336181641 × 131072)
    floor (39372.5)     		ty = 39372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62535 / 39372 ti = "17/62535/39372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62535/39372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62535 ÷ 217
    62535 ÷ 131072     		x = 0.477104187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39372 ÷ 217
    39372 ÷ 131072     		y = 0.300384521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477104187011719 × 2 - 1) × π
    -0.0457916259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14385864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300384521484375 × 2 - 1) × π
    0.39923095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25422104165915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14385864} λ = -0.14385864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25422104165915))-π/2
    2×atan(3.50510697834249)-π/2
    2×1.29288158084571-π/2
    2.58576316169143-1.57079632675     		φ = 1.01496683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14385864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.242493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01496683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.153316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62535 KachelY 39372 -0.14385864 1.01496683 -8.242493 58.153316
    Oben rechts KachelX + 1 62536 KachelY 39372 -0.14381070 1.01496683 -8.239746 58.153316
    Unten links KachelX 62535 KachelY + 1 39373 -0.14385864 1.01494154 -8.242493 58.151867
    Unten rechts KachelX + 1 62536 KachelY + 1 39373 -0.14381070 1.01494154 -8.239746 58.151867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01496683-1.01494154) × R
    2.52900000001777e-05 × 6371000     		dl = 161.122590001132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01496683-1.01494154) × R
    2.52900000001777e-05 × 6371000     		dr = 161.122590001132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14385864--0.14381070) × cos(1.01496683) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527648108528047 × 6371000     		do = 161.157314006767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14385864--0.14381070) × cos(1.01494154) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527669591279845 × 6371000     		du = 161.163875392132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01496683)-sin(1.01494154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527648108528047-0.527669591279845)×R²
    abs(-0.14381070--0.14385864)×2.14827517983629e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14827517983629e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14827517983629e-05×40589641000000     		ar = 25966.6124253856m²