Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62535 / 25493
↖ ↑ ↗
← N 73.311303°
W  8.242493°		 ← 87.71 m → N 73.311303°
W  8.239746°		 →
↑
87.73 m
↓
↑
87.73 m
↓
N 73.310514°
W  8.242493°		 ← 87.71 m →
7 695 m²		 N 73.310514°
W  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477108001708984 y=0.194499969482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477108001708984 × 217)
    floor (0.477108001708984 × 131072)
    floor (62535.5)     		tx = 62535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194499969482422 × 217)
    floor (0.194499969482422 × 131072)
    floor (25493.5)     		ty = 25493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62535 / 25493 ti = "17/62535/25493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62535/25493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62535 ÷ 217
    62535 ÷ 131072     		x = 0.477104187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25493 ÷ 217
    25493 ÷ 131072     		y = 0.194496154785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477104187011719 × 2 - 1) × π
    -0.0457916259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14385864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194496154785156 × 2 - 1) × π
    0.611007690429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.91953727148591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14385864} λ = -0.14385864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91953727148591))-π/2
    2×atan(6.81780294744485)-π/2
    2×1.42515996748181-π/2
    2.85031993496361-1.57079632675     		φ = 1.27952361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14385864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.242493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27952361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.311303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62535 KachelY 25493 -0.14385864 1.27952361 -8.242493 73.311303
    Oben rechts KachelX + 1 62536 KachelY 25493 -0.14381070 1.27952361 -8.239746 73.311303
    Unten links KachelX 62535 KachelY + 1 25494 -0.14385864 1.27950984 -8.242493 73.310514
    Unten rechts KachelX + 1 62536 KachelY + 1 25494 -0.14381070 1.27950984 -8.239746 73.310514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27952361-1.27950984) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dl = 87.7286700001532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27952361-1.27950984) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dr = 87.7286700001532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14385864--0.14381070) × cos(1.27952361) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.287171566255736 × 6371000     		do = 87.7095881306105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14385864--0.14381070) × cos(1.27950984) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.287184756224589 × 6371000     		du = 87.713616686608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27952361)-sin(1.27950984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287171566255736-0.287184756224589)×R²
    abs(-0.14381070--0.14385864)×1.31899688529113e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31899688529113e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31899688529113e-05×40589641000000     		ar = 7694.82222308631m²