Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62534 / 39716
↖ ↑ ↗
← N 57.651280°
W  8.245239°		 ← 163.39 m → N 57.651280°
W  8.242493°		 →
↑
163.42 m
↓
↑
163.42 m
↓
N 57.649810°
W  8.245239°		 ← 163.40 m →
26 701 m²		 N 57.649810°
W  8.242493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477100372314453 y=0.303012847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477100372314453 × 217)
    floor (0.477100372314453 × 131072)
    floor (62534.5)     		tx = 62534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303012847900391 × 217)
    floor (0.303012847900391 × 131072)
    floor (39716.5)     		ty = 39716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62534 / 39716 ti = "17/62534/39716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62534/39716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62534 ÷ 217
    62534 ÷ 131072     		x = 0.477096557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39716 ÷ 217
    39716 ÷ 131072     		y = 0.303009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477096557617188 × 2 - 1) × π
    -0.045806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14390657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303009033203125 × 2 - 1) × π
    0.39398193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23773074818985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14390657} λ = -0.14390657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23773074818985))-π/2
    2×atan(3.44778069827359)-π/2
    2×1.28850048696277-π/2
    2.57700097392553-1.57079632675     		φ = 1.00620465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14390657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.245239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00620465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.651280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62534 KachelY 39716 -0.14390657 1.00620465 -8.245239 57.651280
    Oben rechts KachelX + 1 62535 KachelY 39716 -0.14385864 1.00620465 -8.242493 57.651280
    Unten links KachelX 62534 KachelY + 1 39717 -0.14390657 1.00617900 -8.245239 57.649810
    Unten rechts KachelX + 1 62535 KachelY + 1 39717 -0.14385864 1.00617900 -8.242493 57.649810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00620465-1.00617900) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dl = 163.416149999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00620465-1.00617900) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dr = 163.416149999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14390657--0.14385864) × cos(1.00620465) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.535070906262087 × 6371000     		do = 163.390338130136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14390657--0.14385864) × cos(1.00617900) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.535092575389534 × 6371000     		du = 163.396955058882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00620465)-sin(1.00617900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535070906262087-0.535092575389534)×R²
    abs(-0.14385864--0.14390657)×2.16691274470548e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16691274470548e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16691274470548e-05×40589641000000     		ar = 26701.160662454m²