Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62534 / 25491
↖ ↑ ↗
← N 73.312880°
W  8.245239°		 ← 87.68 m → N 73.312880°
W  8.242493°		 →
↑
87.73 m
↓
↑
87.73 m
↓
N 73.312091°
W  8.245239°		 ← 87.69 m →
7 693 m²		 N 73.312091°
W  8.242493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477100372314453 y=0.194484710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477100372314453 × 217)
    floor (0.477100372314453 × 131072)
    floor (62534.5)     		tx = 62534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194484710693359 × 217)
    floor (0.194484710693359 × 131072)
    floor (25491.5)     		ty = 25491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62534 / 25491 ti = "17/62534/25491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62534/25491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62534 ÷ 217
    62534 ÷ 131072     		x = 0.477096557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25491 ÷ 217
    25491 ÷ 131072     		y = 0.194480895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477096557617188 × 2 - 1) × π
    -0.045806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14390657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194480895996094 × 2 - 1) × π
    0.611038208007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.91963314528515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14390657} λ = -0.14390657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91963314528515))-π/2
    2×atan(6.81845662745078)-π/2
    2×1.42517373296434-π/2
    2.85034746592869-1.57079632675     		φ = 1.27955114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14390657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.245239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27955114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.312880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62534 KachelY 25491 -0.14390657 1.27955114 -8.245239 73.312880
    Oben rechts KachelX + 1 62535 KachelY 25491 -0.14385864 1.27955114 -8.242493 73.312880
    Unten links KachelX 62534 KachelY + 1 25492 -0.14390657 1.27953737 -8.245239 73.312091
    Unten rechts KachelX + 1 62535 KachelY + 1 25492 -0.14385864 1.27953737 -8.242493 73.312091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27955114-1.27953737) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dl = 87.7286700001532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27955114-1.27953737) × R
    1.3770000000024e-05 × 6371000     		dr = 87.7286700001532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14390657--0.14385864) × cos(1.27955114) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.28714519573355 × 6371000     		do = 87.6832398739469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14390657--0.14385864) × cos(1.27953737) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.287158385811263 × 6371000     		du = 87.6872676228534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27955114)-sin(1.27953737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28714519573355-0.287158385811263)×R²
    abs(-0.14385864--0.14390657)×1.31900777136651e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31900777136651e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31900777136651e-05×40589641000000     		ar = 7692.51069001262m²