Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62531 / 39363
↖ ↑ ↗
← N 58.166357°
W  8.253479°		 ← 161.06 m → N 58.166357°
W  8.250733°		 →
↑
161.12 m
↓
↑
161.12 m
↓
N 58.164908°
W  8.253479°		 ← 161.07 m →
25 952 m²		 N 58.164908°
W  8.250733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477077484130859 y=0.300319671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477077484130859 × 217)
    floor (0.477077484130859 × 131072)
    floor (62531.5)     		tx = 62531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300319671630859 × 217)
    floor (0.300319671630859 × 131072)
    floor (39363.5)     		ty = 39363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62531 / 39363 ti = "17/62531/39363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62531/39363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62531 ÷ 217
    62531 ÷ 131072     		x = 0.477073669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39363 ÷ 217
    39363 ÷ 131072     		y = 0.300315856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477073669433594 × 2 - 1) × π
    -0.0458526611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14405038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300315856933594 × 2 - 1) × π
    0.399368286132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.25465247375573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14405038} λ = -0.14405038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25465247375573))-π/2
    2×atan(3.506619520251)-π/2
    2×1.29299538215415-π/2
    2.58599076430829-1.57079632675     		φ = 1.01519444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14405038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.253479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01519444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.166357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62531 KachelY 39363 -0.14405038 1.01519444 -8.253479 58.166357
    Oben rechts KachelX + 1 62532 KachelY 39363 -0.14400245 1.01519444 -8.250733 58.166357
    Unten links KachelX 62531 KachelY + 1 39364 -0.14405038 1.01516915 -8.253479 58.164908
    Unten rechts KachelX + 1 62532 KachelY + 1 39364 -0.14400245 1.01516915 -8.250733 58.164908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01519444-1.01516915) × R
    2.52899999999556e-05 × 6371000     		dl = 161.122589999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01519444-1.01516915) × R
    2.52899999999556e-05 × 6371000     		dr = 161.122589999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14405038--0.14400245) × cos(1.01519444) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527454748577121 × 6371000     		do = 161.064652758655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14405038--0.14400245) × cos(1.01516915) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527476234365703 × 6371000     		du = 161.071213702672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01519444)-sin(1.01516915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527454748577121-0.527476234365703)×R²
    abs(-0.14400245--0.14405038)×2.14857885816322e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14857885816322e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14857885816322e-05×40589641000000     		ar = 25951.6825694192m²