Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62530 / 76351
↖ ↑ ↗
← S 28.456618°
W  8.256226°		 ← 268.52 m → S 28.456618°
W  8.253479°		 →
↑
268.54 m
↓
↑
268.54 m
↓
S 28.459033°
W  8.256226°		 ← 268.52 m →
72 108 m²		 S 28.459033°
W  8.253479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477069854736328 y=0.582515716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477069854736328 × 217)
    floor (0.477069854736328 × 131072)
    floor (62530.5)     		tx = 62530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582515716552734 × 217)
    floor (0.582515716552734 × 131072)
    floor (76351.5)     		ty = 76351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62530 / 76351 ti = "17/62530/76351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62530/76351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62530 ÷ 217
    62530 ÷ 131072     		x = 0.477066040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76351 ÷ 217
    76351 ÷ 131072     		y = 0.582511901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477066040039062 × 2 - 1) × π
    -0.045867919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14409832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582511901855469 × 2 - 1) × π
    -0.165023803710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.518437569390907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14409832} λ = -0.14409832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518437569390907))-π/2
    2×atan(0.595450171118793)-π/2
    2×0.537067321636469-π/2
    1.07413464327294-1.57079632675     		φ = -0.49666168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14409832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.256226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49666168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.456618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62530 KachelY 76351 -0.14409832 -0.49666168 -8.256226 -28.456618
    Oben rechts KachelX + 1 62531 KachelY 76351 -0.14405038 -0.49666168 -8.253479 -28.456618
    Unten links KachelX 62530 KachelY + 1 76352 -0.14409832 -0.49670383 -8.256226 -28.459033
    Unten rechts KachelX + 1 62531 KachelY + 1 76352 -0.14405038 -0.49670383 -8.253479 -28.459033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49666168--0.49670383) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dl = 268.537650000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49666168--0.49670383) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dr = 268.537650000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14409832--0.14405038) × cos(-0.49666168) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.879178144729269 × 6371000     		do = 268.523635445744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14409832--0.14405038) × cos(-0.49670383) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.879158059759019 × 6371000     		du = 268.517500978842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49666168)-sin(-0.49670383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879178144729269-0.879158059759019)×R²
    abs(-0.14405038--0.14409832)×2.00849702506334e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.00849702506334e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.00849702506334e-05×40589641000000     		ar = 72107.882375094m²