Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6253 / 6362
↖ ↑ ↗
← S 70.050596°
E 94.790039°		 ← 1 667.22 m → S 70.050596°
E 94.833984°		 →
↑
1 666.59 m
↓
↑
1 666.59 m
↓
S 70.065584°
E 94.790039°		 ← 1 666.02 m →
2 777 577 m²		 S 70.065584°
E 94.833984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76336669921875 y=0.77667236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76336669921875 × 213)
    floor (0.76336669921875 × 8192)
    floor (6253.5)     		tx = 6253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77667236328125 × 213)
    floor (0.77667236328125 × 8192)
    floor (6362.5)     		ty = 6362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6253 / 6362 ti = "13/6253/6362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6253/6362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6253 ÷ 213
    6253 ÷ 8192     		x = 0.7633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6362 ÷ 213
    6362 ÷ 8192     		y = 0.776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7633056640625 × 2 - 1) × π
    0.526611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65439828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.55322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73800023262476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65439828} λ = 1.65439828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73800023262476))-π/2
    2×atan(0.175871751781048)-π/2
    2×0.174091388759433-π/2
    0.348182777518866-1.57079632675     		φ = -1.22261355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65439828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22261355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.050596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6253 KachelY 6362 1.65439828 -1.22261355 94.790039 -70.050596
    Oben rechts KachelX + 1 6254 KachelY 6362 1.65516527 -1.22261355 94.833984 -70.050596
    Unten links KachelX 6253 KachelY + 1 6363 1.65439828 -1.22287514 94.790039 -70.065584
    Unten rechts KachelX + 1 6254 KachelY + 1 6363 1.65516527 -1.22287514 94.833984 -70.065584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22261355--1.22287514) × R
    0.000261590000000034 × 6371000     		dl = 1666.58989000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22261355--1.22287514) × R
    0.000261590000000034 × 6371000     		dr = 1666.58989000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65439828-1.65516527) × cos(-1.22261355) × R
    0.000766989999999801 × 0.341190192327367 × 6371000     		do = 1667.22358542105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65439828-1.65516527) × cos(-1.22287514) × R
    0.000766989999999801 × 0.340944287551892 × 6371000     		du = 1666.02197338572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22261355)-sin(-1.22287514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341190192327367-0.340944287551892)×R²
    abs(1.65516527-1.65439828)×0.000245904775475037×R²
    0.000766989999999801×0.000245904775475037×6371000²
    0.000766989999999801×0.000245904775475037×40589641000000     		ar = 2777576.69043652m²