Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6253 / 6036
↖ ↑ ↗
← S 64.548440°
E 94.790039°		 ← 2 099.96 m → S 64.548440°
E 94.833984°		 →
↑
2 099.24 m
↓
↑
2 099.24 m
↓
S 64.567319°
E 94.790039°		 ← 2 098.51 m →
4 406 803 m²		 S 64.567319°
E 94.833984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76336669921875 y=0.73687744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76336669921875 × 213)
    floor (0.76336669921875 × 8192)
    floor (6253.5)     		tx = 6253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73687744140625 × 213)
    floor (0.73687744140625 × 8192)
    floor (6036.5)     		ty = 6036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6253 / 6036 ti = "13/6253/6036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6253/6036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6253 ÷ 213
    6253 ÷ 8192     		x = 0.7633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6036 ÷ 213
    6036 ÷ 8192     		y = 0.73681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7633056640625 × 2 - 1) × π
    0.526611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65439828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73681640625 × 2 - 1) × π
    -0.4736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48796136420654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65439828} λ = 1.65439828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48796136420654))-π/2
    2×atan(0.225832576948724)-π/2
    2×0.22210675963498-π/2
    0.444213519269961-1.57079632675     		φ = -1.12658281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65439828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12658281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.548440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6253 KachelY 6036 1.65439828 -1.12658281 94.790039 -64.548440
    Oben rechts KachelX + 1 6254 KachelY 6036 1.65516527 -1.12658281 94.833984 -64.548440
    Unten links KachelX 6253 KachelY + 1 6037 1.65439828 -1.12691231 94.790039 -64.567319
    Unten rechts KachelX + 1 6254 KachelY + 1 6037 1.65516527 -1.12691231 94.833984 -64.567319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12658281--1.12691231) × R
    0.000329500000000094 × 6371000     		dl = 2099.2445000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12658281--1.12691231) × R
    0.000329500000000094 × 6371000     		dr = 2099.2445000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65439828-1.65516527) × cos(-1.12658281) × R
    0.000766989999999801 × 0.429747859113903 × 6371000     		do = 2099.96002995141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65439828-1.65516527) × cos(-1.12691231) × R
    0.000766989999999801 × 0.429450314116585 × 6371000     		du = 2098.50607831854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12658281)-sin(-1.12691231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429747859113903-0.429450314116585)×R²
    abs(1.65516527-1.65439828)×0.000297544997317434×R²
    0.000766989999999801×0.000297544997317434×6371000²
    0.000766989999999801×0.000297544997317434×40589641000000     		ar = 4406803.4829832m²