Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6253 / 10525
↖ ↑ ↗
← S 45.537137°
W 42.604981°		 ← 1 711.39 m → S 45.537137°
W 42.583008°		 →
↑
1 711.12 m
↓
↑
1 711.12 m
↓
S 45.552525°
W 42.604981°		 ← 1 710.92 m →
2 927 993 m²		 S 45.552525°
W 42.583008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381683349609375 y=0.642425537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381683349609375 × 214)
    floor (0.381683349609375 × 16384)
    floor (6253.5)     		tx = 6253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642425537109375 × 214)
    floor (0.642425537109375 × 16384)
    floor (10525.5)     		ty = 10525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6253 / 10525 ti = "14/6253/10525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6253/10525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6253 ÷ 214
    6253 ÷ 16384     		x = 0.38165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10525 ÷ 214
    10525 ÷ 16384     		y = 0.64239501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.2366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74359719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64239501953125 × 2 - 1) × π
    -0.2847900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.894694294508728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74359719} λ = -0.74359719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894694294508728))-π/2
    2×atan(0.408732531322859)-π/2
    2×0.388011679904586-π/2
    0.776023359809172-1.57079632675     		φ = -0.79477297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74359719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.604981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79477297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.537137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6253 KachelY 10525 -0.74359719 -0.79477297 -42.604981 -45.537137
    Oben rechts KachelX + 1 6254 KachelY 10525 -0.74321369 -0.79477297 -42.583008 -45.537137
    Unten links KachelX 6253 KachelY + 1 10526 -0.74359719 -0.79504155 -42.604981 -45.552525
    Unten rechts KachelX + 1 6254 KachelY + 1 10526 -0.74321369 -0.79504155 -42.583008 -45.552525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79477297--0.79504155) × R
    0.000268579999999963 × 6371000     		dl = 1711.12317999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79477297--0.79504155) × R
    0.000268579999999963 × 6371000     		dr = 1711.12317999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74359719--0.74321369) × cos(-0.79477297) × R
    0.000383499999999981 × 0.70044681644662 × 6371000     		do = 1711.38664701739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74359719--0.74321369) × cos(-0.79504155) × R
    0.000383499999999981 × 0.700255104403776 × 6371000     		du = 1710.91824110492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79477297)-sin(-0.79504155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70044681644662-0.700255104403776)×R²
    abs(-0.74321369--0.74359719)×0.000191712042843295×R²
    0.000383499999999981×0.000191712042843295×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191712042843295×40589641000000     		ar = 2927992.62914754m²