Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62529 / 76609
↖ ↑ ↗
← S 29.077775°
W  8.258972°		 ← 266.93 m → S 29.077775°
W  8.256226°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 29.080176°
W  8.258972°		 ← 266.92 m →
71 255 m²		 S 29.080176°
W  8.256226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477062225341797 y=0.584484100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477062225341797 × 217)
    floor (0.477062225341797 × 131072)
    floor (62529.5)     		tx = 62529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584484100341797 × 217)
    floor (0.584484100341797 × 131072)
    floor (76609.5)     		ty = 76609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62529 / 76609 ti = "17/62529/76609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62529/76609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62529 ÷ 217
    62529 ÷ 131072     		x = 0.477058410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76609 ÷ 217
    76609 ÷ 131072     		y = 0.584480285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477058410644531 × 2 - 1) × π
    -0.0458831787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14414626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584480285644531 × 2 - 1) × π
    -0.168960571289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.530805289492882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14414626} λ = -0.14414626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530805289492882))-π/2
    2×atan(0.588131163082157)-π/2
    2×0.531646701606506-π/2
    1.06329340321301-1.57079632675     		φ = -0.50750292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14414626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.258972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50750292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.077775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62529 KachelY 76609 -0.14414626 -0.50750292 -8.258972 -29.077775
    Oben rechts KachelX + 1 62530 KachelY 76609 -0.14409832 -0.50750292 -8.256226 -29.077775
    Unten links KachelX 62529 KachelY + 1 76610 -0.14414626 -0.50754482 -8.258972 -29.080176
    Unten rechts KachelX + 1 62530 KachelY + 1 76610 -0.14409832 -0.50754482 -8.256226 -29.080176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50750292--0.50754482) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dl = 266.944900000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50750292--0.50754482) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dr = 266.944900000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14414626--0.14409832) × cos(-0.50750292) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873960803060694 × 6371000     		do = 266.930125005786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14414626--0.14409832) × cos(-0.50754482) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873940439043774 × 6371000     		du = 266.923905310849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50750292)-sin(-0.50754482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873960803060694-0.873940439043774)×R²
    abs(-0.14409832--0.14414626)×2.03640169204045e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.03640169204045e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.03640169204045e-05×40589641000000     		ar = 71254.8053792421m²