Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62529 / 28862
↖ ↑ ↗
← N 70.438638°
W  8.258972°		 ← 102.26 m → N 70.438638°
W  8.256226°		 →
↑
102.25 m
↓
↑
102.25 m
↓
N 70.437719°
W  8.258972°		 ← 102.27 m →
10 457 m²		 N 70.437719°
W  8.256226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477062225341797 y=0.220203399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477062225341797 × 217)
    floor (0.477062225341797 × 131072)
    floor (62529.5)     		tx = 62529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220203399658203 × 217)
    floor (0.220203399658203 × 131072)
    floor (28862.5)     		ty = 28862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62529 / 28862 ti = "17/62529/28862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62529/28862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62529 ÷ 217
    62529 ÷ 131072     		x = 0.477058410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28862 ÷ 217
    28862 ÷ 131072     		y = 0.220199584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477058410644531 × 2 - 1) × π
    -0.0458831787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14414626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220199584960938 × 2 - 1) × π
    0.559600830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75803785666594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14414626} λ = -0.14414626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75803785666594))-π/2
    2×atan(5.80104374076076)-π/2
    2×1.40009124113913-π/2
    2.80018248227825-1.57079632675     		φ = 1.22938616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14414626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.258972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22938616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.438638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62529 KachelY 28862 -0.14414626 1.22938616 -8.258972 70.438638
    Oben rechts KachelX + 1 62530 KachelY 28862 -0.14409832 1.22938616 -8.256226 70.438638
    Unten links KachelX 62529 KachelY + 1 28863 -0.14414626 1.22937011 -8.258972 70.437719
    Unten rechts KachelX + 1 62530 KachelY + 1 28863 -0.14409832 1.22937011 -8.256226 70.437719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22938616-1.22937011) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dl = 102.254549999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22938616-1.22937011) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dr = 102.254549999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14414626--0.14409832) × cos(1.22938616) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.334816201444038 × 6371000     		do = 102.261486090027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14414626--0.14409832) × cos(1.22937011) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.33483132505038 × 6371000     		du = 102.266105228685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22938616)-sin(1.22937011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334816201444038-0.33483132505038)×R²
    abs(-0.14409832--0.14414626)×1.51236063415938e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.51236063415938e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.51236063415938e-05×40589641000000     		ar = 10456.9384066172m²