Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62526 / 25544
↖ ↑ ↗
← N 73.271029°
W  8.267212°		 ← 87.92 m → N 73.271029°
W  8.264465°		 →
↑
87.86 m
↓
↑
87.86 m
↓
N 73.270239°
W  8.267212°		 ← 87.92 m →
7 724 m²		 N 73.270239°
W  8.264465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477039337158203 y=0.194889068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477039337158203 × 217)
    floor (0.477039337158203 × 131072)
    floor (62526.5)     		tx = 62526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194889068603516 × 217)
    floor (0.194889068603516 × 131072)
    floor (25544.5)     		ty = 25544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62526 / 25544 ti = "17/62526/25544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62526/25544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62526 ÷ 217
    62526 ÷ 131072     		x = 0.477035522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25544 ÷ 217
    25544 ÷ 131072     		y = 0.19488525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477035522460938 × 2 - 1) × π
    -0.045928955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14429007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19488525390625 × 2 - 1) × π
    0.6102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91709248960529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14429007} λ = -0.14429007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91709248960529))-π/2
    2×atan(6.80115526460184)-π/2
    2×1.42480852023769-π/2
    2.84961704047538-1.57079632675     		φ = 1.27882071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14429007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.267212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27882071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.271029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62526 KachelY 25544 -0.14429007 1.27882071 -8.267212 73.271029
    Oben rechts KachelX + 1 62527 KachelY 25544 -0.14424213 1.27882071 -8.264465 73.271029
    Unten links KachelX 62526 KachelY + 1 25545 -0.14429007 1.27880692 -8.267212 73.270239
    Unten rechts KachelX + 1 62527 KachelY + 1 25545 -0.14424213 1.27880692 -8.264465 73.270239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27882071-1.27880692) × R
    1.37899999999025e-05 × 6371000     		dl = 87.8560899993788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27882071-1.27880692) × R
    1.37899999999025e-05 × 6371000     		dr = 87.8560899993788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14429007--0.14424213) × cos(1.27882071) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.287844788522999 × 6371000     		do = 87.9152075397739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14429007--0.14424213) × cos(1.27880692) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.287857994862478 × 6371000     		du = 87.9192410957818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27882071)-sin(1.27880692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287844788522999-0.287857994862478)×R²
    abs(-0.14424213--0.14429007)×1.32063394785442e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.32063394785442e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.32063394785442e-05×40589641000000     		ar = 7724.06357228192m²