Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62525 / 78994
↖ ↑ ↗
← S 34.637727°
W  8.269958°		 ← 251.24 m → S 34.637727°
W  8.267212°		 →
↑
251.27 m
↓
↑
251.27 m
↓
S 34.639987°
W  8.269958°		 ← 251.23 m →
63 129 m²		 S 34.639987°
W  8.267212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477031707763672 y=0.602680206298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477031707763672 × 217)
    floor (0.477031707763672 × 131072)
    floor (62525.5)     		tx = 62525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602680206298828 × 217)
    floor (0.602680206298828 × 131072)
    floor (78994.5)     		ty = 78994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62525 / 78994 ti = "17/62525/78994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62525/78994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62525 ÷ 217
    62525 ÷ 131072     		x = 0.477027893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78994 ÷ 217
    78994 ÷ 131072     		y = 0.602676391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477027893066406 × 2 - 1) × π
    -0.0459442138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14433800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602676391601562 × 2 - 1) × π
    -0.205352783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.645134795086716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14433800} λ = -0.14433800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645134795086716))-π/2
    2×atan(0.524591824940004)-π/2
    2×0.483126967366866-π/2
    0.966253934733732-1.57079632675     		φ = -0.60454239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14433800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.269958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60454239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.637727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62525 KachelY 78994 -0.14433800 -0.60454239 -8.269958 -34.637727
    Oben rechts KachelX + 1 62526 KachelY 78994 -0.14429007 -0.60454239 -8.267212 -34.637727
    Unten links KachelX 62525 KachelY + 1 78995 -0.14433800 -0.60458183 -8.269958 -34.639987
    Unten rechts KachelX + 1 62526 KachelY + 1 78995 -0.14429007 -0.60458183 -8.267212 -34.639987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60454239--0.60458183) × R
    3.94400000000017e-05 × 6371000     		dl = 251.272240000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60454239--0.60458183) × R
    3.94400000000017e-05 × 6371000     		dr = 251.272240000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14433800--0.14429007) × cos(-0.60454239) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.822762282718202 × 6371000     		do = 251.240360858272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14433800--0.14429007) × cos(-0.60458183) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.822739864948991 × 6371000     		du = 251.233515322758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60454239)-sin(-0.60458183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822762282718202-0.822739864948991)×R²
    abs(-0.14429007--0.14433800)×2.24177692109695e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24177692109695e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24177692109695e-05×40589641000000     		ar = 63128.8682130017m²