Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62525 / 27758
↖ ↑ ↗
← N 71.428928°
W  8.269958°		 ← 97.25 m → N 71.428928°
W  8.267212°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
N 71.428054°
W  8.269958°		 ← 97.26 m →
9 455 m²		 N 71.428054°
W  8.267212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477031707763672 y=0.211780548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477031707763672 × 217)
    floor (0.477031707763672 × 131072)
    floor (62525.5)     		tx = 62525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211780548095703 × 217)
    floor (0.211780548095703 × 131072)
    floor (27758.5)     		ty = 27758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62525 / 27758 ti = "17/62525/27758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62525/27758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62525 ÷ 217
    62525 ÷ 131072     		x = 0.477027893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27758 ÷ 217
    27758 ÷ 131072     		y = 0.211776733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477027893066406 × 2 - 1) × π
    -0.0459442138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14433800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211776733398438 × 2 - 1) × π
    0.576446533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81096019384648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14433800} λ = -0.14433800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81096019384648))-π/2
    2×atan(6.11631746398747)-π/2
    2×1.40873315494156-π/2
    2.81746630988312-1.57079632675     		φ = 1.24666998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14433800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.269958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24666998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.428928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62525 KachelY 27758 -0.14433800 1.24666998 -8.269958 71.428928
    Oben rechts KachelX + 1 62526 KachelY 27758 -0.14429007 1.24666998 -8.267212 71.428928
    Unten links KachelX 62525 KachelY + 1 27759 -0.14433800 1.24665472 -8.269958 71.428054
    Unten rechts KachelX + 1 62526 KachelY + 1 27759 -0.14429007 1.24665472 -8.267212 71.428054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24666998-1.24665472) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dl = 97.2214600004615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24666998-1.24665472) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dr = 97.2214600004615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14433800--0.14429007) × cos(1.24666998) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.318480746008482 × 6371000     		do = 97.2519271170678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14433800--0.14429007) × cos(1.24665472) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.318495211372974 × 6371000     		du = 97.2563442901336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24666998)-sin(1.24665472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318480746008482-0.318495211372974)×R²
    abs(-0.14429007--0.14433800)×1.44653644914006e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.44653644914006e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.44653644914006e-05×40589641000000     		ar = 9455.18906446051m²