Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62524 / 40127
↖ ↑ ↗
← N 57.042224°
W  8.272705°		 ← 166.16 m → N 57.042224°
W  8.269958°		 →
↑
166.16 m
↓
↑
166.16 m
↓
N 57.040730°
W  8.272705°		 ← 166.16 m →
27 609 m²		 N 57.040730°
W  8.269958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477024078369141 y=0.306148529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477024078369141 × 217)
    floor (0.477024078369141 × 131072)
    floor (62524.5)     		tx = 62524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306148529052734 × 217)
    floor (0.306148529052734 × 131072)
    floor (40127.5)     		ty = 40127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62524 / 40127 ti = "17/62524/40127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62524/40127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62524 ÷ 217
    62524 ÷ 131072     		x = 0.477020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40127 ÷ 217
    40127 ÷ 131072     		y = 0.306144714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477020263671875 × 2 - 1) × π
    -0.04595947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14438594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306144714355469 × 2 - 1) × π
    0.387710571289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.21802868244601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14438594} λ = -0.14438594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21802868244601))-π/2
    2×atan(3.38051708812389)-π/2
    2×1.28318547469616-π/2
    2.56637094939231-1.57079632675     		φ = 0.99557462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14438594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99557462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.042224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62524 KachelY 40127 -0.14438594 0.99557462 -8.272705 57.042224
    Oben rechts KachelX + 1 62525 KachelY 40127 -0.14433800 0.99557462 -8.269958 57.042224
    Unten links KachelX 62524 KachelY + 1 40128 -0.14438594 0.99554854 -8.272705 57.040730
    Unten rechts KachelX + 1 62525 KachelY + 1 40128 -0.14433800 0.99554854 -8.269958 57.040730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99557462-0.99554854) × R
    2.60799999999284e-05 × 6371000     		dl = 166.155679999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99557462-0.99554854) × R
    2.60799999999284e-05 × 6371000     		dr = 166.155679999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14438594--0.14433800) × cos(0.99557462) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544020831951989 × 6371000     		do = 166.157965174339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14438594--0.14433800) × cos(0.99554854) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544042714757169 × 6371000     		du = 166.164648746304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99557462)-sin(0.99554854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544020831951989-0.544042714757169)×R²
    abs(-0.14433800--0.14438594)×2.18828051800068e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18828051800068e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18828051800068e-05×40589641000000     		ar = 27608.6449491791m²