Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62523 / 40131
↖ ↑ ↗
← N 57.036247°
W  8.275452°		 ← 166.18 m → N 57.036247°
W  8.272705°		 →
↑
166.16 m
↓
↑
166.16 m
↓
N 57.034753°
W  8.275452°		 ← 166.19 m →
27 613 m²		 N 57.034753°
W  8.272705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477016448974609 y=0.306179046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477016448974609 × 217)
    floor (0.477016448974609 × 131072)
    floor (62523.5)     		tx = 62523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306179046630859 × 217)
    floor (0.306179046630859 × 131072)
    floor (40131.5)     		ty = 40131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62523 / 40131 ti = "17/62523/40131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62523/40131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62523 ÷ 217
    62523 ÷ 131072     		x = 0.477012634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40131 ÷ 217
    40131 ÷ 131072     		y = 0.306175231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477012634277344 × 2 - 1) × π
    -0.0459747314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14443388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306175231933594 × 2 - 1) × π
    0.387649536132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.21783693484753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14443388} λ = -0.14443388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21783693484753))-π/2
    2×atan(3.37986894423262)-π/2
    2×1.28313331315641-π/2
    2.56626662631283-1.57079632675     		φ = 0.99547030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14443388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.275452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99547030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.036247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62523 KachelY 40131 -0.14443388 0.99547030 -8.275452 57.036247
    Oben rechts KachelX + 1 62524 KachelY 40131 -0.14438594 0.99547030 -8.272705 57.036247
    Unten links KachelX 62523 KachelY + 1 40132 -0.14443388 0.99544422 -8.275452 57.034753
    Unten rechts KachelX + 1 62524 KachelY + 1 40132 -0.14438594 0.99544422 -8.272705 57.034753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99547030-0.99544422) × R
    2.60800000000394e-05 × 6371000     		dl = 166.155680000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99547030-0.99544422) × R
    2.60800000000394e-05 × 6371000     		dr = 166.155680000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14443388--0.14438594) × cos(0.99547030) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544108360952412 × 6371000     		do = 166.184698784065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14443388--0.14438594) × cos(0.99544422) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544130242277345 × 6371000     		du = 166.191381903925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99547030)-sin(0.99544422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544108360952412-0.544130242277345)×R²
    abs(-0.14438594--0.14443388)×2.18813249325267e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18813249325267e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18813249325267e-05×40589641000000     		ar = 27613.0868528812m²