Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62521 / 39307
↖ ↑ ↗
← N 58.247391°
W  8.280945°		 ← 160.70 m → N 58.247391°
W  8.278199°		 →
↑
160.74 m
↓
↑
160.74 m
↓
N 58.245946°
W  8.280945°		 ← 160.70 m →
25 831 m²		 N 58.245946°
W  8.278199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477001190185547 y=0.299892425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477001190185547 × 217)
    floor (0.477001190185547 × 131072)
    floor (62521.5)     		tx = 62521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299892425537109 × 217)
    floor (0.299892425537109 × 131072)
    floor (39307.5)     		ty = 39307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62521 / 39307 ti = "17/62521/39307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62521/39307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62521 ÷ 217
    62521 ÷ 131072     		x = 0.476997375488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39307 ÷ 217
    39307 ÷ 131072     		y = 0.299888610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476997375488281 × 2 - 1) × π
    -0.0460052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14452975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299888610839844 × 2 - 1) × π
    0.400222778320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.25733694013445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14452975} λ = -0.14452975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25733694013445))-π/2
    2×atan(3.5160455687506)-π/2
    2×1.29370254248146-π/2
    2.58740508496292-1.57079632675     		φ = 1.01660876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14452975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.280945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01660876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.247391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62521 KachelY 39307 -0.14452975 1.01660876 -8.280945 58.247391
    Oben rechts KachelX + 1 62522 KachelY 39307 -0.14448182 1.01660876 -8.278199 58.247391
    Unten links KachelX 62521 KachelY + 1 39308 -0.14452975 1.01658353 -8.280945 58.245946
    Unten rechts KachelX + 1 62522 KachelY + 1 39308 -0.14448182 1.01658353 -8.278199 58.245946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01660876-1.01658353) × R
    2.52300000000982e-05 × 6371000     		dl = 160.740330000626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01660876-1.01658353) × R
    2.52300000000982e-05 × 6371000     		dr = 160.740330000626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14452975--0.14448182) × cos(1.01660876) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.526252639036703 × 6371000     		do = 160.69757414911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14452975--0.14448182) × cos(1.01658353) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.526274092651357 × 6371000     		du = 160.704125268432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01660876)-sin(1.01658353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526252639036703-0.526274092651357)×R²
    abs(-0.14448182--0.14452975)×2.1453614654332e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1453614654332e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1453614654332e-05×40589641000000     		ar = 25831.1076149974m²