Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6252 / 6363
↖ ↑ ↗
← S 70.065584°
E 94.746094°		 ← 1 666.02 m → S 70.065584°
E 94.790039°		 →
↑
1 665.44 m
↓
↑
1 665.44 m
↓
S 70.080562°
E 94.746094°		 ← 1 664.82 m →
2 773 665 m²		 S 70.080562°
E 94.790039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76324462890625 y=0.77679443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76324462890625 × 213)
    floor (0.76324462890625 × 8192)
    floor (6252.5)     		tx = 6252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77679443359375 × 213)
    floor (0.77679443359375 × 8192)
    floor (6363.5)     		ty = 6363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6252 / 6363 ti = "13/6252/6363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6252/6363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6252 ÷ 213
    6252 ÷ 8192     		x = 0.76318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6363 ÷ 213
    6363 ÷ 8192     		y = 0.7767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76318359375 × 2 - 1) × π
    0.5263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65363129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.553466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73876722301868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65363129} λ = 1.65363129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73876722301868))-π/2
    2×atan(0.17573691155406)-π/2
    2×0.173960591116688-π/2
    0.347921182233375-1.57079632675     		φ = -1.22287514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65363129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.746094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22287514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.065584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6252 KachelY 6363 1.65363129 -1.22287514 94.746094 -70.065584
    Oben rechts KachelX + 1 6253 KachelY 6363 1.65439828 -1.22287514 94.790039 -70.065584
    Unten links KachelX 6252 KachelY + 1 6364 1.65363129 -1.22313655 94.746094 -70.080562
    Unten rechts KachelX + 1 6253 KachelY + 1 6364 1.65439828 -1.22313655 94.790039 -70.080562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22287514--1.22313655) × R
    0.000261410000000017 × 6371000     		dl = 1665.44311000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22287514--1.22313655) × R
    0.000261410000000017 × 6371000     		dr = 1665.44311000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65363129-1.65439828) × cos(-1.22287514) × R
    0.000766990000000023 × 0.340944287551892 × 6371000     		do = 1666.0219733862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65363129-1.65439828) × cos(-1.22313655) × R
    0.000766990000000023 × 0.340698528676901 × 6371000     		du = 1664.8210742926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22287514)-sin(-1.22313655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340944287551892-0.340698528676901)×R²
    abs(1.65439828-1.65363129)×0.000245758874990343×R²
    0.000766990000000023×0.000245758874990343×6371000²
    0.000766990000000023×0.000245758874990343×40589641000000     		ar = 2773664.81791812m²