Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62516 / 78964
↖ ↑ ↗
← S 34.569906°
W  8.294678°		 ← 251.50 m → S 34.569906°
W  8.291931°		 →
↑
251.46 m
↓
↑
251.46 m
↓
S 34.572168°
W  8.294678°		 ← 251.49 m →
63 242 m²		 S 34.572168°
W  8.291931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476963043212891 y=0.602451324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476963043212891 × 217)
    floor (0.476963043212891 × 131072)
    floor (62516.5)     		tx = 62516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602451324462891 × 217)
    floor (0.602451324462891 × 131072)
    floor (78964.5)     		ty = 78964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62516 / 78964 ti = "17/62516/78964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62516/78964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62516 ÷ 217
    62516 ÷ 131072     		x = 0.476959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78964 ÷ 217
    78964 ÷ 131072     		y = 0.602447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.04608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14476944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.20489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.643696688098114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14476944} λ = -0.14476944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.643696688098114))-π/2
    2×atan(0.525346786837489)-π/2
    2×0.483718819178953-π/2
    0.967437638357906-1.57079632675     		φ = -0.60335869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14476944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.294678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60335869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.569906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62516 KachelY 78964 -0.14476944 -0.60335869 -8.294678 -34.569906
    Oben rechts KachelX + 1 62517 KachelY 78964 -0.14472150 -0.60335869 -8.291931 -34.569906
    Unten links KachelX 62516 KachelY + 1 78965 -0.14476944 -0.60339816 -8.294678 -34.572168
    Unten rechts KachelX + 1 62517 KachelY + 1 78965 -0.14472150 -0.60339816 -8.291931 -34.572168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60335869--0.60339816) × R
    3.94700000000414e-05 × 6371000     		dl = 251.463370000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60335869--0.60339816) × R
    3.94700000000414e-05 × 6371000     		dr = 251.463370000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14476944--0.14472150) × cos(-0.60335869) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.823434504228291 × 6371000     		do = 251.49809279544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14476944--0.14472150) × cos(-0.60339816) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.823412107861701 × 6371000     		du = 251.4912523686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60335869)-sin(-0.60339816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823434504228291-0.823412107861701)×R²
    abs(-0.14472150--0.14476944)×2.23963665900717e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23963665900717e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23963665900717e-05×40589641000000     		ar = 63241.6979127598m²