Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62516 / 39366
↖ ↑ ↗
← N 58.162010°
W  8.294678°		 ← 161.12 m → N 58.162010°
W  8.291931°		 →
↑
161.12 m
↓
↑
161.12 m
↓
N 58.160561°
W  8.294678°		 ← 161.12 m →
25 960 m²		 N 58.160561°
W  8.291931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476963043212891 y=0.300342559814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476963043212891 × 217)
    floor (0.476963043212891 × 131072)
    floor (62516.5)     		tx = 62516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300342559814453 × 217)
    floor (0.300342559814453 × 131072)
    floor (39366.5)     		ty = 39366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62516 / 39366 ti = "17/62516/39366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62516/39366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62516 ÷ 217
    62516 ÷ 131072     		x = 0.476959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39366 ÷ 217
    39366 ÷ 131072     		y = 0.300338745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.04608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14476944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300338745117188 × 2 - 1) × π
    0.399322509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25450866305687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14476944} λ = -0.14476944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25450866305687))-π/2
    2×atan(3.50611526710652)-π/2
    2×1.292957453019-π/2
    2.585914906038-1.57079632675     		φ = 1.01511858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14476944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.294678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01511858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.162010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62516 KachelY 39366 -0.14476944 1.01511858 -8.294678 58.162010
    Oben rechts KachelX + 1 62517 KachelY 39366 -0.14472150 1.01511858 -8.291931 58.162010
    Unten links KachelX 62516 KachelY + 1 39367 -0.14476944 1.01509329 -8.294678 58.160561
    Unten rechts KachelX + 1 62517 KachelY + 1 39367 -0.14472150 1.01509329 -8.291931 58.160561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01511858-1.01509329) × R
    2.52899999999556e-05 × 6371000     		dl = 161.122589999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01511858-1.01509329) × R
    2.52899999999556e-05 × 6371000     		dr = 161.122589999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14476944--0.14472150) × cos(1.01511858) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527519196435325 × 6371000     		do = 161.117940935452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14476944--0.14472150) × cos(1.01509329) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527540681211903 × 6371000     		du = 161.124502939237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01511858)-sin(1.01509329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527519196435325-0.527540681211903)×R²
    abs(-0.14472150--0.14476944)×2.14847765775961e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14847765775961e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14847765775961e-05×40589641000000     		ar = 25960.2685839205m²