Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62516 / 39344
↖ ↑ ↗
← N 58.193871°
W  8.294678°		 ← 160.97 m → N 58.193871°
W  8.291931°		 →
↑
161 m
↓
↑
161 m
↓
N 58.192424°
W  8.294678°		 ← 160.98 m →
25 917 m²		 N 58.192424°
W  8.291931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476963043212891 y=0.300174713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476963043212891 × 217)
    floor (0.476963043212891 × 131072)
    floor (62516.5)     		tx = 62516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300174713134766 × 217)
    floor (0.300174713134766 × 131072)
    floor (39344.5)     		ty = 39344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62516 / 39344 ti = "17/62516/39344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62516/39344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62516 ÷ 217
    62516 ÷ 131072     		x = 0.476959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39344 ÷ 217
    39344 ÷ 131072     		y = 0.3001708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.04608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14476944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3001708984375 × 2 - 1) × π
    0.399658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25556327484851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14476944} λ = -0.14476944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25556327484851))-π/2
    2×atan(3.50981480805693)-π/2
    2×1.29323549241578-π/2
    2.58647098483157-1.57079632675     		φ = 1.01567466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14476944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.294678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01567466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.193871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62516 KachelY 39344 -0.14476944 1.01567466 -8.294678 58.193871
    Oben rechts KachelX + 1 62517 KachelY 39344 -0.14472150 1.01567466 -8.291931 58.193871
    Unten links KachelX 62516 KachelY + 1 39345 -0.14476944 1.01564939 -8.294678 58.192424
    Unten rechts KachelX + 1 62517 KachelY + 1 39345 -0.14472150 1.01564939 -8.291931 58.192424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01567466-1.01564939) × R
    2.52699999998551e-05 × 6371000     		dl = 160.995169999077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01567466-1.01564939) × R
    2.52699999998551e-05 × 6371000     		dr = 160.995169999077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14476944--0.14472150) × cos(1.01567466) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527046700965475 × 6371000     		do = 160.973628656926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14476944--0.14472150) × cos(1.01564939) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527068176161062 × 6371000     		du = 160.98018773443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01567466)-sin(1.01564939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527046700965475-0.527068176161062)×R²
    abs(-0.14472150--0.14476944)×2.14751955877057e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14751955877057e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14751955877057e-05×40589641000000     		ar = 25916.5047023049m²