Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62514 / 79015
↖ ↑ ↗
← S 34.685170°
W  8.300171°		 ← 251.15 m → S 34.685170°
W  8.297424°		 →
↑
251.14 m
↓
↑
251.14 m
↓
S 34.687428°
W  8.300171°		 ← 251.14 m →
63 074 m²		 S 34.687428°
W  8.297424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476947784423828 y=0.602840423583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476947784423828 × 217)
    floor (0.476947784423828 × 131072)
    floor (62514.5)     		tx = 62514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602840423583984 × 217)
    floor (0.602840423583984 × 131072)
    floor (79015.5)     		ty = 79015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62514 / 79015 ti = "17/62514/79015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62514/79015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62514 ÷ 217
    62514 ÷ 131072     		x = 0.476943969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79015 ÷ 217
    79015 ÷ 131072     		y = 0.602836608886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476943969726562 × 2 - 1) × π
    -0.046112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14486531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602836608886719 × 2 - 1) × π
    -0.205673217773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.646141469978737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14486531} λ = -0.14486531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646141469978737))-π/2
    2×atan(0.524063997241297)-π/2
    2×0.482712958803638-π/2
    0.965425917607276-1.57079632675     		φ = -0.60537041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14486531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.300171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60537041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.685170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62514 KachelY 79015 -0.14486531 -0.60537041 -8.300171 -34.685170
    Oben rechts KachelX + 1 62515 KachelY 79015 -0.14481737 -0.60537041 -8.297424 -34.685170
    Unten links KachelX 62514 KachelY + 1 79016 -0.14486531 -0.60540983 -8.300171 -34.687428
    Unten rechts KachelX + 1 62515 KachelY + 1 79016 -0.14481737 -0.60540983 -8.297424 -34.687428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60537041--0.60540983) × R
    3.94200000000122e-05 × 6371000     		dl = 251.144820000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60537041--0.60540983) × R
    3.94200000000122e-05 × 6371000     		dr = 251.144820000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14486531--0.14481737) × cos(-0.60537041) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.82229136605142 × 6371000     		do = 251.148948971846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14486531--0.14481737) × cos(-0.60540983) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822268932803208 × 6371000     		du = 251.142097280411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60537041)-sin(-0.60540983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82229136605142-0.822268932803208)×R²
    abs(-0.14481737--0.14486531)×2.24332482117173e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24332482117173e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24332482117173e-05×40589641000000     		ar = 63073.8972073287m²