Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62514 / 27764
↖ ↑ ↗
← N 71.423679°
W  8.300171°		 ← 97.30 m → N 71.423679°
W  8.297424°		 →
↑
97.29 m
↓
↑
97.29 m
↓
N 71.422805°
W  8.300171°		 ← 97.30 m →
9 466 m²		 N 71.422805°
W  8.297424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476947784423828 y=0.211826324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476947784423828 × 217)
    floor (0.476947784423828 × 131072)
    floor (62514.5)     		tx = 62514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211826324462891 × 217)
    floor (0.211826324462891 × 131072)
    floor (27764.5)     		ty = 27764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62514 / 27764 ti = "17/62514/27764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62514/27764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62514 ÷ 217
    62514 ÷ 131072     		x = 0.476943969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27764 ÷ 217
    27764 ÷ 131072     		y = 0.211822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476943969726562 × 2 - 1) × π
    -0.046112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14486531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211822509765625 × 2 - 1) × π
    0.57635498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81067257244876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14486531} λ = -0.14486531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81067257244876))-π/2
    2×atan(6.11455853317477)-π/2
    2×1.40868734775913-π/2
    2.81737469551826-1.57079632675     		φ = 1.24657837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14486531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.300171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24657837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.423679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62514 KachelY 27764 -0.14486531 1.24657837 -8.300171 71.423679
    Oben rechts KachelX + 1 62515 KachelY 27764 -0.14481737 1.24657837 -8.297424 71.423679
    Unten links KachelX 62514 KachelY + 1 27765 -0.14486531 1.24656310 -8.300171 71.422805
    Unten rechts KachelX + 1 62515 KachelY + 1 27765 -0.14481737 1.24656310 -8.297424 71.422805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24657837-1.24656310) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dl = 97.2851700000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24657837-1.24656310) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dr = 97.2851700000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14486531--0.14481737) × cos(1.24657837) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.318567584477863 × 6371000     		do = 97.2987402291562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14486531--0.14481737) × cos(1.24656310) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.31858205887601 × 6371000     		du = 97.3031610829214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24657837)-sin(1.24656310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318567584477863-0.31858205887601)×R²
    abs(-0.14481737--0.14486531)×1.44743981472795e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44743981472795e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44743981472795e-05×40589641000000     		ar = 9465.93952598476m²