Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62513 / 79013
↖ ↑ ↗
← S 34.680652°
W  8.302918°		 ← 251.16 m → S 34.680652°
W  8.300171°		 →
↑
251.14 m
↓
↑
251.14 m
↓
S 34.682911°
W  8.302918°		 ← 251.16 m →
63 077 m²		 S 34.682911°
W  8.300171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476940155029297 y=0.602825164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476940155029297 × 217)
    floor (0.476940155029297 × 131072)
    floor (62513.5)     		tx = 62513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602825164794922 × 217)
    floor (0.602825164794922 × 131072)
    floor (79013.5)     		ty = 79013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62513 / 79013 ti = "17/62513/79013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62513/79013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62513 ÷ 217
    62513 ÷ 131072     		x = 0.476936340332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79013 ÷ 217
    79013 ÷ 131072     		y = 0.602821350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476936340332031 × 2 - 1) × π
    -0.0461273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14491325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602821350097656 × 2 - 1) × π
    -0.205642700195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.646045596179497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14491325} λ = -0.14491325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646045596179497))-π/2
    2×atan(0.524114243656377)-π/2
    2×0.482752377977609-π/2
    0.965504755955219-1.57079632675     		φ = -0.60529157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14491325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.302918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60529157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.680652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62513 KachelY 79013 -0.14491325 -0.60529157 -8.302918 -34.680652
    Oben rechts KachelX + 1 62514 KachelY 79013 -0.14486531 -0.60529157 -8.300171 -34.680652
    Unten links KachelX 62513 KachelY + 1 79014 -0.14491325 -0.60533099 -8.302918 -34.682911
    Unten rechts KachelX + 1 62514 KachelY + 1 79014 -0.14486531 -0.60533099 -8.300171 -34.682911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60529157--0.60533099) × R
    3.94200000000122e-05 × 6371000     		dl = 251.144820000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60529157--0.60533099) × R
    3.94200000000122e-05 × 6371000     		dr = 251.144820000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14491325--0.14486531) × cos(-0.60529157) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822336228714443 × 6371000     		do = 251.162651183899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14491325--0.14486531) × cos(-0.60533099) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822313798021843 × 6371000     		du = 251.155800273013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60529157)-sin(-0.60533099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822336228714443-0.822313798021843)×R²
    abs(-0.14486531--0.14491325)×2.24306925998841e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24306925998841e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24306925998841e-05×40589641000000     		ar = 63077.338544908m²