Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62513 / 39653
↖ ↑ ↗
← N 57.743747°
W  8.302918°		 ← 163.01 m → N 57.743747°
W  8.300171°		 →
↑
162.97 m
↓
↑
162.97 m
↓
N 57.742282°
W  8.302918°		 ← 163.01 m →
26 566 m²		 N 57.742282°
W  8.300171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476940155029297 y=0.302532196044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476940155029297 × 217)
    floor (0.476940155029297 × 131072)
    floor (62513.5)     		tx = 62513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302532196044922 × 217)
    floor (0.302532196044922 × 131072)
    floor (39653.5)     		ty = 39653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62513 / 39653 ti = "17/62513/39653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62513/39653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62513 ÷ 217
    62513 ÷ 131072     		x = 0.476936340332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39653 ÷ 217
    39653 ÷ 131072     		y = 0.302528381347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476936340332031 × 2 - 1) × π
    -0.0461273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14491325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302528381347656 × 2 - 1) × π
    0.394943237304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.24075077286591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14491325} λ = -0.14491325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24075077286591))-π/2
    2×atan(3.45820881972624)-π/2
    2×1.2893074204677-π/2
    2.57861484093539-1.57079632675     		φ = 1.00781851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14491325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.302918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00781851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.743747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62513 KachelY 39653 -0.14491325 1.00781851 -8.302918 57.743747
    Oben rechts KachelX + 1 62514 KachelY 39653 -0.14486531 1.00781851 -8.300171 57.743747
    Unten links KachelX 62513 KachelY + 1 39654 -0.14491325 1.00779293 -8.302918 57.742282
    Unten rechts KachelX + 1 62514 KachelY + 1 39654 -0.14486531 1.00779293 -8.300171 57.742282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00781851-1.00779293) × R
    2.55799999999695e-05 × 6371000     		dl = 162.970179999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00781851-1.00779293) × R
    2.55799999999695e-05 × 6371000     		dr = 162.970179999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14491325--0.14486531) × cos(1.00781851) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533706809574718 × 6371000     		do = 163.007797257385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14491325--0.14486531) × cos(1.00779293) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533728441628003 × 6371000     		du = 163.014404243267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00781851)-sin(1.00779293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533706809574718-0.533728441628003)×R²
    abs(-0.14486531--0.14491325)×2.16320532855363e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16320532855363e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16320532855363e-05×40589641000000     		ar = 26565.9484326372m²