Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62513 / 34621
↖ ↑ ↗
← N 64.400498°
W  8.302918°		 ← 131.97 m → N 64.400498°
W  8.300171°		 →
↑
131.94 m
↓
↑
131.94 m
↓
N 64.399311°
W  8.302918°		 ← 131.97 m →
17 413 m²		 N 64.399311°
W  8.300171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476940155029297 y=0.264141082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476940155029297 × 217)
    floor (0.476940155029297 × 131072)
    floor (62513.5)     		tx = 62513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264141082763672 × 217)
    floor (0.264141082763672 × 131072)
    floor (34621.5)     		ty = 34621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62513 / 34621 ti = "17/62513/34621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62513/34621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62513 ÷ 217
    62513 ÷ 131072     		x = 0.476936340332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34621 ÷ 217
    34621 ÷ 131072     		y = 0.264137268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476936340332031 × 2 - 1) × π
    -0.0461273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14491325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264137268066406 × 2 - 1) × π
    0.471725463867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.48196925175404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14491325} λ = -0.14491325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48196925175404))-π/2
    2×atan(4.40160502031757)-π/2
    2×1.347398530359-π/2
    2.69479706071799-1.57079632675     		φ = 1.12400073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14491325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.302918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12400073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.400498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62513 KachelY 34621 -0.14491325 1.12400073 -8.302918 64.400498
    Oben rechts KachelX + 1 62514 KachelY 34621 -0.14486531 1.12400073 -8.300171 64.400498
    Unten links KachelX 62513 KachelY + 1 34622 -0.14491325 1.12398002 -8.302918 64.399311
    Unten rechts KachelX + 1 62514 KachelY + 1 34622 -0.14486531 1.12398002 -8.300171 64.399311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12400073-1.12398002) × R
    2.07099999998128e-05 × 6371000     		dl = 131.943409998807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12400073-1.12398002) × R
    2.07099999998128e-05 × 6371000     		dr = 131.943409998807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14491325--0.14486531) × cos(1.12400073) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432077910313776 × 6371000     		do = 131.967715495229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14491325--0.14486531) × cos(1.12398002) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432096587250514 × 6371000     		du = 131.973419912453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12400073)-sin(1.12398002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432077910313776-0.432096587250514)×R²
    abs(-0.14486531--0.14491325)×1.86769367374051e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86769367374051e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86769367374051e-05×40589641000000     		ar = 17412.6467228318m²