Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62512 / 40112
↖ ↑ ↗
← N 57.064630°
W  8.305664°		 ← 166.02 m → N 57.064630°
W  8.302918°		 →
↑
166.03 m
↓
↑
166.03 m
↓
N 57.063137°
W  8.305664°		 ← 166.03 m →
27 565 m²		 N 57.063137°
W  8.302918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476932525634766 y=0.306034088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476932525634766 × 217)
    floor (0.476932525634766 × 131072)
    floor (62512.5)     		tx = 62512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306034088134766 × 217)
    floor (0.306034088134766 × 131072)
    floor (40112.5)     		ty = 40112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62512 / 40112 ti = "17/62512/40112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62512/40112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62512 ÷ 217
    62512 ÷ 131072     		x = 0.4769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40112 ÷ 217
    40112 ÷ 131072     		y = 0.3060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3060302734375 × 2 - 1) × π
    0.387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21874773594031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14496118} λ = -0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21874773594031))-π/2
    2×atan(3.38294873488593)-π/2
    2×1.28338100573895-π/2
    2.5667620114779-1.57079632675     		φ = 0.99596568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99596568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.064630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62512 KachelY 40112 -0.14496118 0.99596568 -8.305664 57.064630
    Oben rechts KachelX + 1 62513 KachelY 40112 -0.14491325 0.99596568 -8.302918 57.064630
    Unten links KachelX 62512 KachelY + 1 40113 -0.14496118 0.99593962 -8.305664 57.063137
    Unten rechts KachelX + 1 62513 KachelY + 1 40113 -0.14491325 0.99593962 -8.302918 57.063137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99596568-0.99593962) × R
    2.60599999999389e-05 × 6371000     		dl = 166.028259999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99596568-0.99593962) × R
    2.60599999999389e-05 × 6371000     		dr = 166.028259999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14496118--0.14491325) × cos(0.99596568) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.54369266297948 × 6371000     		do = 166.023095263525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14496118--0.14491325) × cos(0.99593962) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.543714534546078 × 6371000     		du = 166.029774009501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99596568)-sin(0.99593962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54369266297948-0.543714534546078)×R²
    abs(-0.14491325--0.14496118)×2.18715665979419e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18715665979419e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18715665979419e-05×40589641000000     		ar = 27565.0800582261m²