Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62512 / 31216
↖ ↑ ↗
← N 68.155209°
W  8.305664°		 ← 113.62 m → N 68.155209°
W  8.302918°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
N 68.154187°
W  8.305664°		 ← 113.63 m →
12 907 m²		 N 68.154187°
W  8.302918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476932525634766 y=0.238162994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476932525634766 × 217)
    floor (0.476932525634766 × 131072)
    floor (62512.5)     		tx = 62512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238162994384766 × 217)
    floor (0.238162994384766 × 131072)
    floor (31216.5)     		ty = 31216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62512 / 31216 ti = "17/62512/31216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62512/31216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62512 ÷ 217
    62512 ÷ 131072     		x = 0.4769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31216 ÷ 217
    31216 ÷ 131072     		y = 0.2381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2381591796875 × 2 - 1) × π
    0.523681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64519439496033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14496118} λ = -0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64519439496033))-π/2
    2×atan(5.18201716706379)-π/2
    2×1.38016456519041-π/2
    2.76032913038081-1.57079632675     		φ = 1.18953280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18953280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.155209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62512 KachelY 31216 -0.14496118 1.18953280 -8.305664 68.155209
    Oben rechts KachelX + 1 62513 KachelY 31216 -0.14491325 1.18953280 -8.302918 68.155209
    Unten links KachelX 62512 KachelY + 1 31217 -0.14496118 1.18951497 -8.305664 68.154187
    Unten rechts KachelX + 1 62513 KachelY + 1 31217 -0.14491325 1.18951497 -8.302918 68.154187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18953280-1.18951497) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18953280-1.18951497) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14496118--0.14491325) × cos(1.18953280) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.372093565664068 × 6371000     		do = 113.623246561122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14496118--0.14491325) × cos(1.18951497) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.372110115325809 × 6371000     		du = 113.628300199427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18953280)-sin(1.18951497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372093565664068-0.372110115325809)×R²
    abs(-0.14491325--0.14496118)×1.65496617406391e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.65496617406391e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.65496617406391e-05×40589641000000     		ar = 12907.311773626m²