Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6251 / 6054
↖ ↑ ↗
← S 64.886265°
E 94.702149°		 ← 2 073.91 m → S 64.886265°
E 94.746094°		 →
↑
2 073.19 m
↓
↑
2 073.19 m
↓
S 64.904910°
E 94.702149°		 ← 2 072.47 m →
4 298 107 m²		 S 64.904910°
E 94.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76312255859375 y=0.73907470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76312255859375 × 213)
    floor (0.76312255859375 × 8192)
    floor (6251.5)     		tx = 6251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73907470703125 × 213)
    floor (0.73907470703125 × 8192)
    floor (6054.5)     		ty = 6054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6251 / 6054 ti = "13/6251/6054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6251/6054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6251 ÷ 213
    6251 ÷ 8192     		x = 0.7630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6054 ÷ 213
    6054 ÷ 8192     		y = 0.739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7630615234375 × 2 - 1) × π
    0.526123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65286430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739013671875 × 2 - 1) × π
    -0.47802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50176719129712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65286430} λ = 1.65286430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50176719129712))-π/2
    2×atan(0.222736194679993)-π/2
    2×0.219158678050316-π/2
    0.438317356100632-1.57079632675     		φ = -1.13247897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65286430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.702149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13247897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.886265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6251 KachelY 6054 1.65286430 -1.13247897 94.702149 -64.886265
    Oben rechts KachelX + 1 6252 KachelY 6054 1.65363129 -1.13247897 94.746094 -64.886265
    Unten links KachelX 6251 KachelY + 1 6055 1.65286430 -1.13280438 94.702149 -64.904910
    Unten rechts KachelX + 1 6252 KachelY + 1 6055 1.65363129 -1.13280438 94.746094 -64.904910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13247897--1.13280438) × R
    0.000325410000000081 × 6371000     		dl = 2073.18711000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13247897--1.13280438) × R
    0.000325410000000081 × 6371000     		dr = 2073.18711000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65286430-1.65363129) × cos(-1.13247897) × R
    0.000766990000000023 × 0.424416488567418 × 6371000     		do = 2073.90832355011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65286430-1.65363129) × cos(-1.13280438) × R
    0.000766990000000023 × 0.424121818057005 × 6371000     		du = 2072.46841807822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13247897)-sin(-1.13280438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424416488567418-0.424121818057005)×R²
    abs(1.65363129-1.65286430)×0.000294670510412376×R²
    0.000766990000000023×0.000294670510412376×6371000²
    0.000766990000000023×0.000294670510412376×40589641000000     		ar = 4298107.44490459m²